Introduction
Le béton armé n'est pas un matériau linéaire : sa rigidité de flexion dépend du niveau de chargement. À faible charge, tous les matériaux restent dans le domaine élastique (acier) ou tangent initial (béton) de leurs lois de comportement, et est élevé. Lorsque le chargement augmente, le béton entre dans la branche descendante de sa loi parabole-rectangle et l'acier atteint son palier de plastification, provoquant une chute de . Cette dégradation est importante pour estimer des déplacements réalistes, mais aussi dans les structures hyperstatiques, l'analyse au second ordre et les problèmes de redistribution.
SectionPro trace la réponse complète de la section en fixant deux composantes d'effort et en augmentant la troisième (, ou ) de zéro jusqu'à la rupture. À chaque pas, un équilibre itératif est résolu pour trouver l'état de déformation. Trois courbes sont produites : effort-déformation (-), rigidité sécante et rigidité tangente . La rigidité sécante (pente de l'origine au point courant) représente la rigidité moyenne le long du chemin de chargement, couramment utilisée dans les analyses MEF itératives. La rigidité tangente (pente instantanée) donne la rigidité exacte pour un état de charge donné, utilisée dans les analyses non linéaires où la matrice de rigidité est mise à jour à chaque pas.
Le solveur détecte également les événements de rigidité : les transitions clés sur les lois de comportement (élasticité vers plastification, et rupture). Pour l'acier, des événements peuvent se produire en traction et en compression ; pour le béton, en compression (palier plastique à et écrasement à ). Chaque événement est rapporté avec le matériau concerné, le seuil de déformation, le niveau d'effort, et les et correspondants.
Résultats calculés
Courbes
Tableau des événements
Exports
Section rectangulaire (Eurocode 2)
Données d'entrée
- Béton — Section transversale rectangulaire pleine, Largeur m, Hauteur m.
- Armatures — 56 barres, espacement uniforme 100 mm, diamètre mm, enrobage 50 mm, taux d'armatures .
- Lois de comportement (EC2) — Béton C40/50 MPa, Acier B500B MPa.
La courbe de rigidité est calculée en flexion pure : la composante libre est (courbure ) tandis que et sont maintenus fixes. L'état limite est l'ELU Fondamental (, ). La courbure est balayée de zéro à la rupture, et à chaque pas le moment et la rigidité correspondants sont calculés.
Moment-courbure et rigidité tangente
La courbe - présente la forme classique : une branche initiale raide où les modules tangents sont élevés, un coude de transition à l'événement #1 (plastification de l'acier), et un long palier plastique où une courbure supplémentaire ne produit qu'un faible supplément de moment. Le moment ultime n'est que 25% au-dessus du moment de plastification, mais la courbure a été multipliée par dix.
La rigidité tangente reste quasi constante dans le domaine élastique, puis chute brutalement à l'événement #1. La chute est abrupte car toutes les barres de la nappe inférieure partagent la même coordonnée et plastifient donc simultanément ; il s'agit des armatures principales de flexion, et leur perte de rigidité a un effet immédiat ( divisé par 4 à cet unique événement). Au-delà de l'événement #2, tombe à une valeur quasi nulle, reflétant le palier plastique presque plat de la courbe -.
Rigidité sécante et rigidité axiale
La rigidité sécante reste quasi constante dans le domaine élastique. La chute commence à l'événement #1 (plastification de l'acier), avec seulement 2% de réduction à ce stade. La chute brutale se produit entre les événements #1 et #2, lorsque l'acier plastifie et le béton entre dans son palier plastique. À la rupture, il ne reste qu'environ 11% de la rigidité initiale.
La rigidité axiale suit un schéma plus simple : elle diminue à mesure que le module tangent de la loi parabole-rectangle du béton décroît sous une déformation de compression croissante. La courbe se termine lorsque la section atteint la déformation ultime de compression du béton.
Événements de rigidité
| # | Matériau | εc / εs (‰) | χz (‰) | Mz (kN·m) | EI sec (kN·m²) | EI tan (kN·m²) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Acier | 2.174 | 3.084 | 4 500 | 1.459E6 | 1.420E6 |
| 2 | Béton | −2.000 | 14.764 | 5 393 | 3.653E5 | 1.897E4 |
| 3 | Béton | −3.500 | 34.576 | 5 618 | 1.625E5 | 9.451E3 |
L'événement #1 est le début de la plastification de l'acier ( ‰). L'événement #2 marque l'atteinte par le béton de sa déformation au palier plastique ‰. L'événement #3 est l'écrasement du béton à ‰, qui termine la courbe.
Section oblongue creuse (BAEL 91)
Données d'entrée
- Béton — Section transversale oblongue creuse, Largeur totale m, Hauteur m, Largeur rectangulaire m, Épaisseur m.
- Armatures — 108 barres, espacement extérieur 200 mm, diamètre mm, enrobage 50 mm, taux d'armatures .
- Lois de comportement (BAEL 91) — Béton MPa, ; Acier MPa, fissuration P.
La courbe de rigidité est calculée en flexion pure autour de l'axe fort : la composante libre est (courbure ) tandis que et sont maintenus fixes. L'état limite est l'ELU Persistant & Transitoire. Cette section est typique des sections transversales de tabliers de pont ; la grande inertie produit un initial élevé et le noyau creux amplifie la chute de rigidité après fissuration.
Moment-courbure et rigidité tangente
La courbe - montre que la dégradation de rigidité commence à l'événement #1 (plastification de l'acier). Le moment ultime est 50% au-dessus du moment de plastification. La courbe se termine par la rupture de l'acier (événement #3) et non par l'écrasement du béton — un mode de rupture différent de celui de la section rectangulaire. Tous les événements ne se produisent pas pour toutes les sections : le mode de rupture dépend de la géométrie, de la disposition des armatures et des lois de comportement.
La rigidité tangente reste quasi constante dans le domaine élastique. Le motif en escalier (plus prononcé ici que pour la section rectangulaire) reflète la plastification progressive des barres d'armature individuelles autour du périmètre. Après l'événement #2, continue de chuter, atteignant deux ordres de grandeur en dessous de la valeur initiale à la rupture.
Rigidité sécante et rigidité axiale
La rigidité sécante se dégrade progressivement : seulement 3% de chute à l'événement #1. La courbe s'accentue après l'événement #2, et à la rupture environ 35% de la rigidité initiale subsiste. La chute relative plus faible par rapport à la section rectangulaire (65% contre 89%) est typique des sections creuses avec des taux d'armatures élevés.
Événements de rigidité
| # | Matériau | εc / εs (‰) | χy (‰) | My (kN·m) | EI sec (kN·m²) | EI tan (kN·m²) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Acier | 2.174 | 0.742 | 25 324 | 3.411E7 | 3.244E7 |
| 2 | Béton | −2.000 | 2.547 | 37 356 | 1.466E7 | 1.439E6 |
| 3 | Acier | 10.000 | 3.119 | 38 006 | 1.219E7 | 9.154E5 |
L'événement #1 est le début de la plastification de l'acier ( ‰). L'événement #2 marque l'atteinte par le béton de son palier plastique ( ‰). L'événement #3 est la rupture de l'acier à ‰ (l'allongement ultime de calcul selon le BAEL), qui termine la courbe. Contrairement à la section rectangulaire où la rupture était gouvernée par l'écrasement du béton (), cette section rompt par rupture de l'acier.
Benchmark de performance
| Points de discrétisation | Rectangulaire EC2 (ms) | Oblongue BAEL (ms) |
|---|---|---|
| 100 | 5.2 | 6.5 |
| 500 | 15.5 | 11.3 |
| 1 000 (défaut) | 17.3 | 19.5 |
| 5 000 | 61.0 | 60.9 |
Le calcul est essentiellement instantané quel que soit le nombre de points de discrétisation : même à 5 000 points, les deux sections sont traitées en moins de 61 ms.
Export
SectionPro exporte les valeurs des courbes aux formats PDF, TXT et XLS pour une réutilisation dans des outils externes. L'export PDF inclut également les visualisations des courbes.
Conclusion
Le module de courbes de rigidité fournit l'évolution réelle de la rigidité de flexion et de la rigidité axiale en fonction de l'état de chargement. En balayant une composante d'effort de zéro à la rupture, il capture le chemin complet de dégradation — de la réponse élastique initiale à travers la plastification progressive jusqu'à la rupture — et rapporte les courbures et déformations axiales à chaque niveau de charge.
Les rigidités sécante et tangente (, , ) donnent aux ingénieurs les valeurs de rigidité réelles à utiliser dans les modèles de structure, remplaçant l'hypothèse conventionnelle d'un constant. Les événements de rigidité détectés automatiquement identifient les transitions clés sur les lois de comportement avec leurs niveaux d'effort et valeurs de rigidité associés.