Introdução
O betão armado não é um material linear: a sua rigidez de flexão depende do nível de carga. Para cargas baixas, todos os materiais permanecem no domínio elástico (aço) ou tangente inicial (betão) das suas leis constitutivas, pelo que é elevado. À medida que a carga aumenta, o betão entra no ramo descendente da sua lei parábola-retângulo e o aço atinge o patamar de cedência, provocando a queda de . Esta degradação é importante para estimar deslocamentos realistas, mas também em estruturas hiperestáticas, análise de segunda ordem e problemas de redistribuição.
O SectionPro traça a resposta completa da secção fixando duas componentes de esforço e aumentando a terceira (, ou ) de zero até à rotura. Em cada passo, um equilíbrio iterativo é resolvido para determinar o estado de extensão. São produzidas três curvas: esforço-deformação (-), rigidez secante e rigidez tangente . A rigidez secante (inclinação da origem ao ponto atual) representa a rigidez média ao longo do caminho de carga, habitualmente utilizada em análise MEF iterativa. A rigidez tangente (inclinação instantânea) fornece a rigidez exata para um dado estado de carga, utilizada em análise não linear onde a matriz de rigidez é atualizada em cada passo.
O algoritmo deteta também os eventos de rigidez: transições-chave nas leis constitutivas (elasticidade para plasticidade, e rotura). Para o aço, os eventos podem ocorrer tanto em tração como em compressão; para o betão, em compressão (patamar plástico em e esmagamento em ). Cada evento é reportado com o participante, o limiar de extensão, o nível de esforço e os valores correspondentes de e .
Resultados calculados
Curvas
Tabela de eventos
Exportações
Secção retangular (Eurocódigo 2)
Dados de entrada
Betão: Secção transversal retangular maciça, Largura m, Altura m. Armadura: 56 varões, espaçamento uniforme 100 mm, diâmetro mm, recobrimento 50 mm, taxa de armadura . Leis constitutivas (EC2): Betão C40/50 MPa, Aço B500B MPa.
A curva de rigidez é calculada em flexão pura: a componente livre é (curvatura ) enquanto e são mantidos fixos. O estado limite é o ELU Fundamental (, ). A curvatura é varrida de zero até à rotura, e em cada passo o momento e a rigidez correspondentes são calculados.
Momento-curvatura e rigidez tangente
A curva - apresenta a forma clássica: um ramo inicial íngreme onde os módulos tangentes são elevados, um joelho de transição no evento #1 (cedência do aço) e um longo patamar plástico onde curvatura adicional produz pouco momento suplementar. O momento último é apenas 25% superior ao momento de cedência, mas a curvatura aumentou dez vezes.
A rigidez tangente permanece quase constante ao longo do domínio elástico, depois cai abruptamente no evento #1. A queda é brusca porque todos os varões da camada inferior partilham a mesma coordenada e, portanto, cedem simultaneamente; trata-se da armadura principal de flexão, pelo que a sua perda de rigidez tem um efeito imediato ( dividido por 4 neste único evento). Para além do evento #2, cai para valores próximos de zero, refletindo o patamar plástico quase plano na curva -.
Rigidez secante e rigidez axial
A rigidez secante permanece quase constante ao longo do domínio elástico. A queda começa no evento #1 (cedência do aço), com apenas 2% de redução nesse ponto. A queda acentuada ocorre entre os eventos #1 e #2, à medida que o aço cede e o betão entra no seu patamar plástico. Na rotura, restam apenas cerca de 11% da rigidez inicial.
A rigidez axial segue um padrão mais simples: diminui à medida que o módulo tangente da lei parábola-retângulo do betão diminui sob extensão de compressão crescente. A curva termina quando a secção atinge a extensão última de compressão do betão.
Eventos de rigidez
| # | Material | εc / εs (‰) | χz (‰) | Mz (kN·m) | EI sec (kN·m²) | EI tan (kN·m²) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Aço | 2.174 | 3.084 | 4 500 | 1.459E6 | 1.420E6 |
| 2 | Betão | −2.000 | 14.764 | 5 393 | 3.653E5 | 1.897E4 |
| 3 | Betão | −3.500 | 34.576 | 5 618 | 1.625E5 | 9.451E3 |
O evento #1 é o início da cedência do aço ( ‰). O evento #2 marca o betão a atingir a extensão do patamar plástico ‰. O evento #3 é o esmagamento do betão em ‰, que termina a curva.
Secção oblonga oca (BAEL 91)
Dados de entrada
Betão: Secção transversal oblonga oca, Largura total m, Altura m, Largura retangular m, Espessura m. Armadura: 108 varões, espaçamento exterior 200 mm, diâmetro mm, recobrimento 50 mm, taxa de armadura . Leis constitutivas (BAEL 91): Betão MPa, ; Aço MPa, fendilhação P.
A curva de rigidez é calculada em flexão pura em torno do eixo forte: a componente livre é (curvatura ) enquanto e são mantidos fixos. O estado limite é o ELU Persistente e Transitório. Esta secção é típica das secções transversais de tabuleiros de pontes; a grande inércia produz um inicial elevado e o núcleo oco amplifica a queda de rigidez após a fendilhação.
Momento-curvatura e rigidez tangente
A curva - mostra que a degradação da rigidez começa no evento #1 (cedência do aço). O momento último é 50% superior ao momento de cedência. A curva termina por rotura do aço (evento #3) e não por esmagamento do betão — um modo de rotura diferente do da secção retangular. Nem todos os eventos ocorrem em todas as secções: o modo de rotura depende da geometria, da disposição da armadura e das leis constitutivas.
A rigidez tangente permanece quase constante ao longo do domínio elástico. O padrão em escada (mais pronunciado aqui do que na secção retangular) reflete a cedência progressiva dos varões individuais ao longo do perímetro. Após o evento #2, continua a diminuir, atingindo na rotura valores duas ordens de grandeza abaixo do valor inicial.
Rigidez secante e rigidez axial
A rigidez secante degrada-se gradualmente: apenas 3% de queda no evento #1. A curva torna-se mais íngreme após o evento #2, e na rotura restam cerca de 35% da rigidez inicial. A menor queda relativa comparada com a secção retangular (65% vs. 89%) é típica de secções ocas com taxas de armadura elevadas.
Eventos de rigidez
| # | Material | εc / εs (‰) | χy (‰) | My (kN·m) | EI sec (kN·m²) | EI tan (kN·m²) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Aço | 2.174 | 0.742 | 25 324 | 3.411E7 | 3.244E7 |
| 2 | Betão | −2.000 | 2.547 | 37 356 | 1.466E7 | 1.439E6 |
| 3 | Aço | 10.000 | 3.119 | 38 006 | 1.219E7 | 9.154E5 |
O evento #1 é o início da cedência do aço ( ‰). O evento #2 marca o betão a atingir o seu patamar plástico ( ‰). O evento #3 é a rotura do aço em ‰ (extensão última de cálculo segundo o BAEL), que termina a curva. Ao contrário da secção retangular onde a rotura era governada pelo esmagamento do betão (), esta secção rompe por rotura do aço.
Benchmark de desempenho
| Pontos de discretização | Retangular EC2 (ms) | Oblonga BAEL (ms) |
|---|---|---|
| 100 | 5.2 | 6.5 |
| 500 | 15.5 | 11.3 |
| 1 000 (predefinido) | 17.3 | 19.5 |
| 5 000 | 61.0 | 60.9 |
O cálculo é essencialmente instantâneo independentemente do número de pontos de discretização: mesmo com 5 000 pontos, ambas as secções completam em menos de 61 ms.
Exportação
O SectionPro exporta os valores das curvas nos formatos PDF, TXT e XLS para reutilização em ferramentas externas. A exportação PDF inclui também visualizações das curvas.
Conclusão
O módulo de curvas de rigidez fornece a verdadeira evolução da rigidez de flexão e axial em função do estado de carga. Ao varrer uma componente de esforço de zero até à rotura, capta o caminho completo de degradação — desde a resposta elástica inicial, passando pela cedência progressiva, até à rotura — e reporta as curvaturas e extensões axiais em cada nível de carga.
As rigidezes secante e tangente (, , ) fornecem aos engenheiros os valores reais de rigidez a utilizar nos modelos estruturais, substituindo a hipótese convencional de constante. Os eventos de rigidez automaticamente detetados identificam as transições-chave nas leis constitutivas com os respetivos níveis de esforço e valores de rigidez.