Introdução

Uma análise de segunda ordem estima a amplificação dos momentos flectores causada pela compressão a actuar sobre a deformada do pilar. A excentricidade inicial provoca um deslocamento lateral que aumenta o momento, o qual aumenta ainda mais o deslocamento. O método da curvatura nominal do Eurocódigo quantifica este efeito através de uma excentricidade de segunda ordem , derivada da curvatura da secção e do comprimento de encurvadura efectivo , sem necessidade de um modelo MEF não linear completo:

O SectionPro avalia a curvatura por análise não linear em cada nível de carga e aplica a fórmula do Eurocódigo acima para obter . O esforço normal é incrementado, traçando um caminho de carga no diagrama de interação até à rotura do material (resistência) ou à divergência da excentricidade (instabilidade por encurvadura). Dois modos estão disponíveis:

• 2D uniaxial: a encurvadura é analisada num plano de flexão (– ou –). A outra componente de momento é mantida constante, podendo impor-se um momento de primeira ordem .
• 3D biaxial: ambos os planos de flexão são amplificados simultaneamente, cada um com o seu comprimento de encurvadura e . O caminho de carga é traçado na superfície de interação 3D completa.

Resultados calculados

O SectionPro apresenta para cada análise de encurvadura:

Pilar circular maciço (esbelto)

Dados de entrada

• Betão — Secção transversal circular maciça, diâmetro m, área m².
• Armadura — 20 varões HA25 ( mm), posicionados a mm, recobrimento 40 mm, 1 camada, cm².
• Leis dos materiais (EC2) — Betão C30/37: MPa, Aço B500B: MPa.

Encurvadura 2D uniaxial (plano N–Mz)

O pilar tem um comprimento de encurvadura efectivo de m com uma excentricidade inicial m e sem momento de primeira ordem ().

Com uma esbelteza , este pilar é muito esbelto. O caminho de carga é quase linear até cerca de kN, onde os efeitos de segunda ordem permanecem reduzidos. Para além deste ponto, a excentricidade cresce rapidamente e o caminho curva-se acentuadamente. O pilar atinge a rotura por instabilidade geométrica em:

• kN
• Redução de capacidade: 53%
• A 25% da resistência máxima à compressão ( kN de kN): momento total kN·m, dos quais kN·m de segunda ordem (46%)

Para este pilar esbelto, os efeitos de segunda ordem são já severos a uma fracção da capacidade axial.

Pilar circular oco

Dados de entrada

• Betão — Secção transversal circular oca, diâmetro exterior m, espessura da parede m, diâmetro interior m.
• Armadura — 30 varões HA20 ( mm), posicionados a mm (camada exterior), recobrimento 40 mm, 1 camada, cm².
• Leis dos materiais (EC2) — Betão C30/37: MPa, Aço B500B: MPa.

Encurvadura 2D uniaxial (plano N–Mz)

O pilar tem um comprimento de encurvadura efectivo de m com uma excentricidade inicial m e sem momento de primeira ordem ().

Com uma esbelteza , este pilar é atarracado. O caminho de carga é quase linear na maior parte do intervalo, mas a excentricidade começa a acelerar de forma perceptível para além de kN. Ao contrário do pilar esbelto, onde esta aceleração ocorre cedo, aqui só se manifesta quando já está próximo da resistência máxima à compressão. O pilar atinge a rotura imediatamente antes da curva de interação:

• kN
• Redução de capacidade: 1.3%
• A 25% da resistência máxima à compressão ( kN de kN): momento total kN·m, dos quais kN·m de segunda ordem (17%)

Os efeitos de segunda ordem só se tornam perceptíveis quando se aproxima da resistência máxima à compressão.

Encurvadura 3D biaxial

No modo 3D, o SectionPro amplifica os momentos flectores em ambos os planos simultaneamente. Cada direcção tem o seu próprio comprimento de encurvadura (, ) e excentricidade inicial (, ), e as excentricidades de segunda ordem e são calculadas independentemente em cada nível de carga.

O pilar circular oco é analisado com comprimentos de encurvadura simétricos: m com m. Não são aplicados momentos de primeira ordem.

Com um comprimento de encurvadura curto de 10 m, os efeitos de segunda ordem são desprezáveis ao longo de todo o caminho de carga. A excentricidade mantém-se inferior a 1 mm na maior parte do intervalo, atingindo apenas mm no último ponto. O caminho de carga é essencialmente linear e alcança a superfície de interação em:

• kN
• A 25% da resistência máxima à compressão ( kN de kN): momento total kN·m por eixo, dos quais kN·m de segunda ordem (0.5%)

O pilar atinge a plena resistência mecânica praticamente sem redução de capacidade devida a efeitos geométricos, principalmente devido aos comprimentos de encurvadura reduzidos e às excentricidades iniciais menores em comparação com os exemplos 2D.

Benchmark de desempenho

A análise de segunda ordem consiste em duas fases: construção da curva (ou superfície) de interação, seguida do traçado do caminho de carga calculando incrementalmente em cada nível de carga. Cada passo avalia a curvatura da secção por um algoritmo iterativo. A tabela seguinte apresenta o tempo de cálculo total para 500 pontos do caminho de carga.

O custo dominante é a construção da superfície de interação. O traçado do caminho de carga acrescenta apenas alguns milissegundos, mantendo o total da análise bem abaixo de 300 ms em todos os casos.

Exportação

O SectionPro exporta a análise de encurvadura em três formatos: PDF, texto e Excel (.xlsx). Os dados exportados incluem o caminho de carga completo (, , , , em cada nível de carga), o factor de redução de capacidade e o estado de encurvadura.

Conclusão

O método da curvatura nominal permite aos engenheiros avaliar os efeitos de segunda ordem ao nível da secção sem o custo e a complexidade de um modelo MEF não linear completo. A visualização do caminho de carga na curva (ou superfície) de interação proporciona uma avaliação imediata da importância dos efeitos de segunda ordem para um dado pilar.

A comparação entre o pilar maciço Ø1m e o pilar oco Ø2.5m demonstra que as propriedades geométricas, e não apenas o comprimento de encurvadura, determinam o resultado. O pilar maciço esbelto exibe um caminho de carga fortemente curvado e atinge a rotura por instabilidade, enquanto o pilar oco atinge a resistência mecânica com uma pequena amplificação de segunda ordem.

O modo 3D biaxial estende esta análise a pilares com comprimentos de encurvadura distintos em cada direcção, amplificando os momentos independentemente em ambos os planos.