Introdução
O concreto armado não é um material linear: sua rigidez à flexão depende do nível de carregamento. Para cargas baixas, todos os materiais permanecem no domínio elástico (aço) ou tangente inicial (concreto) de suas leis constitutivas, de modo que é elevado. À medida que o carregamento aumenta, o concreto entra no ramo descendente de sua lei parábola-retângulo e o aço atinge o patamar de escoamento, causando a queda de . Essa degradação é importante para estimar deslocamentos realistas, mas também em estruturas hiperestáticas, análise de segunda ordem e problemas de redistribuição.
O SectionPro traça a resposta completa da seção fixando duas componentes de esforço e incrementando a terceira (, ou ) de zero até a ruptura. A cada passo, um equilíbrio iterativo é resolvido para encontrar o estado de deformação. Três curvas são produzidas: esforço-deformação (-), rigidez secante e rigidez tangente . A rigidez secante (inclinação da origem ao ponto atual) representa a rigidez média ao longo do caminho de carregamento, comumente utilizada em análises iterativas por MEF. A rigidez tangente (inclinação instantânea) fornece a rigidez exata para um dado estado de carga, utilizada em análises não lineares onde a matriz de rigidez é atualizada a cada passo.
O solver também detecta eventos de rigidez: transições-chave nas leis constitutivas (elasticidade para plasticidade e ruptura). Para o aço, os eventos podem ocorrer tanto em tração quanto em compressão; para o concreto, em compressão (patamar plástico em e esmagamento em ). Cada evento é reportado com o participante, o limiar de deformação, o nível de esforço e os valores correspondentes de e .
Resultados calculados
Curvas
Tabela de eventos
Exportações
Seção retangular (Eurocode 2)
Dados de entrada
Concreto: Seção transversal retangular maciça, Largura m, Altura m. Armadura: 56 barras, espaçamento uniforme 100 mm, diâmetro mm, cobrimento 50 mm, taxa de armadura . Leis constitutivas (EC2): Concreto C40/50 MPa, Aço B500B MPa.
A curva de rigidez é calculada em flexão pura: a componente livre é (curvatura ) enquanto e são mantidos fixos. O estado limite é ELU Fundamental (, ). A curvatura é varrida de zero até a ruptura, e a cada passo o momento e a rigidez correspondentes são calculados.
Momento-curvatura e rigidez tangente
A curva - apresenta a forma clássica: um ramo inicial íngreme onde os módulos tangentes são elevados, um joelho de transição no evento #1 (escoamento do aço) e um longo patamar plástico onde curvatura adicional produz pouco momento extra. O momento último é apenas 25% superior ao momento de escoamento, mas a curvatura aumentou dez vezes.
A rigidez tangente permanece quase constante ao longo do domínio elástico, depois cai abruptamente no evento #1. A queda é brusca porque todas as barras da camada inferior compartilham a mesma coordenada e, portanto, escoam simultaneamente; esta é a armadura principal de flexão, de modo que sua perda de rigidez tem efeito imediato ( dividido por 4 ao longo deste único evento). Após o evento #2, cai para valores próximos de zero, refletindo o patamar plástico quase plano na curva -.
Rigidez secante e rigidez axial
A rigidez secante permanece quase constante ao longo do domínio elástico. A queda começa no evento #1 (escoamento do aço), com apenas 2% de redução nesse ponto. A queda acentuada ocorre entre os eventos #1 e #2, à medida que o aço escoa e o concreto entra em seu patamar plástico. Na ruptura, restam apenas cerca de 11% da rigidez inicial.
A rigidez axial segue um padrão mais simples: ela diminui à medida que o módulo tangente da lei parábola-retângulo do concreto diminui sob deformação de compressão crescente. A curva termina quando a seção atinge a deformação última de compressão do concreto.
Eventos de rigidez
| # | Material | εc / εs (‰) | χz (‰) | Mz (kN·m) | EI sec (kN·m²) | EI tan (kN·m²) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Aço | 2.174 | 3.084 | 4 500 | 1.459E6 | 1.420E6 |
| 2 | Concreto | −2.000 | 14.764 | 5 393 | 3.653E5 | 1.897E4 |
| 3 | Concreto | −3.500 | 34.576 | 5 618 | 1.625E5 | 9.451E3 |
O evento #1 é o início do escoamento do aço ( ‰). O evento #2 marca o concreto atingindo a deformação do patamar plástico ‰. O evento #3 é o esmagamento do concreto em ‰, que encerra a curva.
Seção oblonga vazada (BAEL 91)
Dados de entrada
Concreto: Seção transversal oblonga vazada, Largura total m, Altura m, Largura retangular m, Espessura m. Armadura: 108 barras, espaçamento exterior 200 mm, diâmetro mm, cobrimento 50 mm, taxa de armadura . Leis constitutivas (BAEL 91): Concreto MPa, ; Aço MPa, fissuração P.
A curva de rigidez é calculada em flexão pura em torno do eixo forte: a componente livre é (curvatura ) enquanto e são mantidos fixos. O estado limite é ELU Persistente e Transitório. Esta seção é típica de seções transversais de tabuleiros de pontes; a grande inércia produz um inicial elevado e o núcleo vazado amplifica a queda de rigidez após a fissuração.
Momento-curvatura e rigidez tangente
A curva - mostra que a degradação da rigidez começa no evento #1 (escoamento do aço). O momento último é 50% superior ao momento de escoamento. A curva termina por ruptura do aço (evento #3) e não por esmagamento do concreto — um modo de ruptura diferente da seção retangular. Nem todos os eventos ocorrem para todas as seções: o modo de ruptura depende da geometria, da disposição da armadura e das leis constitutivas.
A rigidez tangente permanece quase constante ao longo do domínio elástico. O padrão em escada (mais pronunciado aqui do que na seção retangular) reflete o escoamento progressivo das barras de armadura individuais ao redor do perímetro. Após o evento #2, continua a cair, atingindo duas ordens de grandeza abaixo do valor inicial na ruptura.
Rigidez secante e rigidez axial
A rigidez secante degrada-se gradualmente: apenas 3% de queda no evento #1. A curva torna-se mais íngreme após o evento #2, e na ruptura restam cerca de 35% da rigidez inicial. A menor queda relativa em comparação com a seção retangular (65% vs. 89%) é típica de seções vazadas com altas taxas de armadura.
Eventos de rigidez
| # | Material | εc / εs (‰) | χy (‰) | My (kN·m) | EI sec (kN·m²) | EI tan (kN·m²) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Aço | 2.174 | 0.742 | 25 324 | 3.411E7 | 3.244E7 |
| 2 | Concreto | −2.000 | 2.547 | 37 356 | 1.466E7 | 1.439E6 |
| 3 | Aço | 10.000 | 3.119 | 38 006 | 1.219E7 | 9.154E5 |
O evento #1 é o início do escoamento do aço ( ‰). O evento #2 marca o concreto atingindo seu patamar plástico ( ‰). O evento #3 é a ruptura do aço em ‰ (o alongamento último de cálculo segundo o BAEL), que encerra a curva. Diferentemente da seção retangular, onde a ruptura era governada pelo esmagamento do concreto (), esta seção rompe por ruptura do aço.
Benchmark de desempenho
| Pontos de discretização | Retangular EC2 (ms) | Oblonga BAEL (ms) |
|---|---|---|
| 100 | 5.2 | 6.5 |
| 500 | 15.5 | 11.3 |
| 1 000 (padrão) | 17.3 | 19.5 |
| 5 000 | 61.0 | 60.9 |
O cálculo é essencialmente instantâneo independentemente do número de pontos de discretização: mesmo com 5 000 pontos, ambas as seções completam em menos de 61 ms.
Exportação
O SectionPro exporta os valores das curvas nos formatos PDF, TXT e XLS para reutilização em ferramentas externas. A exportação em PDF também inclui visualizações das curvas.
Conclusão
O módulo de curvas de rigidez fornece a evolução real da rigidez à flexão e axial em função do estado de carregamento. Ao varrer uma componente de esforço de zero até a ruptura, ele captura o caminho completo de degradação — desde a resposta elástica inicial, passando pelo escoamento progressivo, até a ruptura — e reporta as curvaturas e deformações axiais a cada nível de carga.
As rigidezes secante e tangente (, , ) fornecem aos engenheiros os valores reais de rigidez para uso em modelos estruturais, substituindo a hipótese convencional de constante. Os eventos de rigidez detectados automaticamente identificam as transições-chave nas leis constitutivas com seus níveis de esforço e valores de rigidez associados.