Wprowadzenie
Żelbet nie jest materiałem liniowym: jego sztywność giętna zależy od poziomu obciążenia. Przy niskich obciążeniach wszystkie materiały pozostają w zakresie sprężystym (stal) lub początkowym zakresie stycznej (beton) swoich praw konstytutywnych, więc jest wysokie. W miarę wzrostu obciążenia beton wchodzi w gałąź opadającą prawa parabola-prostokąt, a stal osiąga próg uplastycznienia, powodując spadek . Ta degradacja ma znaczenie przy szacowaniu realistycznych przemieszczeń, ale także w konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych, analizie drugiego rzędu i problemach redystrybucji.
SectionPro wyznacza pełną odpowiedź przekroju, ustalając dwie składowe siłowe i zwiększając trzecią (, lub ) od zera do zniszczenia. Na każdym kroku rozwiązywana jest iteracyjna równowaga w celu znalezienia stanu odkształcenia. Wyznaczane są trzy krzywe: siła-odkształcenie (-), sztywność sieczna oraz sztywność styczna . Sztywność sieczna (nachylenie od początku układu do bieżącego punktu) reprezentuje średnią sztywność wzdłuż ścieżki obciążenia, powszechnie stosowaną w iteracyjnej analizie MES. Sztywność styczna (nachylenie chwilowe) daje dokładną sztywność dla danego stanu obciążenia, stosowaną w analizie nieliniowej, gdzie macierz sztywności jest aktualizowana na każdym kroku.
Solver wykrywa również zdarzenia sztywności: kluczowe przejścia na prawach konstytutywnych (od sprężystości do plastyczności oraz zerwanie). Dla stali zdarzenia mogą wystąpić zarówno przy rozciąganiu, jak i ściskaniu; dla betonu — przy ściskaniu (półka plastyczna przy i zmiażdżenie przy ). Każde zdarzenie jest raportowane z podaniem składnika, progu odkształcenia, poziomu siły oraz odpowiadających wartości i .
Wyniki obliczeń
Krzywe
Tabela zdarzeń
Eksporty
Przekrój prostokątny (Eurokod 2)
Dane wejściowe
Beton: Pełny przekrój prostokątny, Szerokość m, Wysokość m. Zbrojenie: 56 prętów, rozstaw równomierny 100 mm, średnica mm, otulina 50 mm, stopień zbrojenia . Prawa materiałowe (EC2): Beton C40/50 MPa, Stal B500B MPa.
Krzywa sztywności jest obliczana przy czystym zginaniu: składową swobodną jest (krzywizna ), podczas gdy i są utrzymywane stałe. Stan graniczny to SGN Podstawowy (, ). Krzywizna jest zwiększana od zera do zniszczenia, a na każdym kroku obliczany jest odpowiadający moment i sztywność.
Moment-krzywizna i sztywność styczna
Krzywa - wykazuje klasyczny kształt: stromy początkowy odcinek, gdzie moduły styczne są wysokie, kolano przejściowe przy zdarzeniu #1 (uplastycznienie stali) oraz długą półkę plastyczną, gdzie dodatkowa krzywizna generuje niewielki przyrost momentu. Moment graniczny jest jedynie o 25% wyższy od momentu uplastycznienia, ale krzywizna wzrosła dziesięciokrotnie.
Sztywność styczna pozostaje quasi-stała w zakresie sprężystym, po czym gwałtownie spada przy zdarzeniu #1. Spadek jest nagły, ponieważ wszystkie pręty w dolnej warstwie mają tę samą współrzędną i dlatego uplastyczniają się jednocześnie; stanowią one główne zbrojenie giętne, więc utrata ich sztywności ma natychmiastowy efekt ( dzielone przez 4 w ramach tego jednego zdarzenia). Po zdarzeniu #2, spada do wartości bliskiej zeru, odzwierciedlając niemal płaską półkę plastyczną na krzywej -.
Sztywność sieczna i sztywność osiowa
Sztywność sieczna pozostaje niemal stała w zakresie sprężystym. Spadek rozpoczyna się przy zdarzeniu #1 (uplastycznienie stali), z redukcją zaledwie 2% w tym punkcie. Stromy spadek następuje między zdarzeniami #1 i #2, gdy stal się uplastycznia, a beton wchodzi na półkę plastyczną. Przy zniszczeniu pozostaje jedynie około 11% początkowej sztywności.
Sztywność osiowa ma prostszy przebieg: maleje w miarę spadku modułu stycznego prawa parabola-prostokąt betonu pod wpływem narastającego odkształcenia ściskającego. Krzywa kończy się, gdy przekrój osiąga graniczne odkształcenie ściskające betonu.
Zdarzenia sztywności
| # | Materiał | εc / εs (‰) | χz (‰) | Mz (kN·m) | EI sec (kN·m²) | EI tan (kN·m²) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Stal | 2.174 | 3.084 | 4 500 | 1.459E6 | 1.420E6 |
| 2 | Beton | −2.000 | 14.764 | 5 393 | 3.653E5 | 1.897E4 |
| 3 | Beton | −3.500 | 34.576 | 5 618 | 1.625E5 | 9.451E3 |
Zdarzenie #1 to początek uplastycznienia stali ( ‰). Zdarzenie #2 oznacza osiągnięcie przez beton odkształcenia półki plastycznej ‰. Zdarzenie #3 to zmiażdżenie betonu przy ‰, co kończy krzywą.
Przekrój skrzynkowy zaokrąglony (BAEL 91)
Dane wejściowe
Beton: Drążony przekrój podłużny zaokrąglony, Szerokość całkowita m, Wysokość m, Szerokość prostokątna m, Grubość m. Zbrojenie: 108 prętów, rozstaw zewnętrzny 200 mm, średnica mm, otulina 50 mm, stopień zbrojenia . Prawa materiałowe (BAEL 91): Beton MPa, ; Stal MPa, zarysowanie P.
Krzywa sztywności jest obliczana przy czystym zginaniu względem osi mocnej: składową swobodną jest (krzywizna ), podczas gdy i są utrzymywane stałe. Stan graniczny to SGN Stały i Przejściowy. Ten przekrój jest typowy dla przekrojów poprzecznych pomostu mostu; duży moment bezwładności daje wysokie początkowe , a rdzeń drążony wzmacnia spadek sztywności po zarysowaniu.
Moment-krzywizna i sztywność styczna
Krzywa - pokazuje, że degradacja sztywności rozpoczyna się przy zdarzeniu #1 (uplastycznienie stali). Moment graniczny jest o 50% wyższy od momentu uplastycznienia. Krzywa kończy się zerwaniem stali (zdarzenie #3), a nie zmiażdżeniem betonu — inny mechanizm zniszczenia niż w przekroju prostokątnym. Nie wszystkie zdarzenia występują dla wszystkich przekrojów: mechanizm zniszczenia zależy od geometrii, rozkładu zbrojenia i praw materiałowych.
Sztywność styczna pozostaje quasi-stała w zakresie sprężystym. Wzorzec schodkowy (bardziej wyraźny tutaj niż w przekroju prostokątnym) odzwierciedla stopniowe uplastycznianie się poszczególnych prętów zbrojeniowych wokół obwodu. Po zdarzeniu #2, nadal spada, osiągając przy zniszczeniu wartość o dwa rzędy wielkości niższą od wartości początkowej.
Sztywność sieczna i sztywność osiowa
Sztywność sieczna degraduje się stopniowo: zaledwie 3% spadku przy zdarzeniu #1. Krzywa staje się bardziej stroma po zdarzeniu #2, a przy zniszczeniu pozostaje około 35% początkowej sztywności. Mniejszy spadek względny w porównaniu z przekrojem prostokątnym (65% vs. 89%) jest typowy dla przekrojów drążonych z wysokim stopniem zbrojenia.
Zdarzenia sztywności
| # | Materiał | εc / εs (‰) | χy (‰) | My (kN·m) | EI sec (kN·m²) | EI tan (kN·m²) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Stal | 2.174 | 0.742 | 25 324 | 3.411E7 | 3.244E7 |
| 2 | Beton | −2.000 | 2.547 | 37 356 | 1.466E7 | 1.439E6 |
| 3 | Stal | 10.000 | 3.119 | 38 006 | 1.219E7 | 9.154E5 |
Zdarzenie #1 to początek uplastycznienia stali ( ‰). Zdarzenie #2 oznacza osiągnięcie przez beton półki plastycznej ( ‰). Zdarzenie #3 to zerwanie stali przy ‰ (obliczeniowe graniczne wydłużenie wg BAEL), co kończy krzywą. W odróżnieniu od przekroju prostokątnego, gdzie zniszczenie było spowodowane zmiażdżeniem betonu (), ten przekrój ulega zniszczeniu przez zerwanie stali.
Test wydajności
| Punkty dyskretyzacji | Prostokątny EC2 (ms) | Skrzynkowy BAEL (ms) |
|---|---|---|
| 100 | 5.2 | 6.5 |
| 500 | 15.5 | 11.3 |
| 1 000 (domyślnie) | 17.3 | 19.5 |
| 5 000 | 61.0 | 60.9 |
Obliczenia są praktycznie natychmiastowe niezależnie od liczby punktów dyskretyzacji: nawet przy 5 000 punktów oba przekroje kończą obliczenia w mniej niż 61 ms.
Eksport
SectionPro eksportuje wartości krzywych w formatach PDF, TXT i XLS do wykorzystania w zewnętrznych narzędziach. Eksport PDF zawiera również wizualizacje krzywych.
Podsumowanie
Moduł krzywych sztywności dostarcza rzeczywistą ewolucję sztywności giętnej i osiowej w funkcji stanu obciążenia. Poprzez zwiększanie składowej siłowej od zera do zniszczenia, uchwycona zostaje pełna ścieżka degradacji — od początkowej odpowiedzi sprężystej, przez stopniowe uplastycznianie, aż do zerwania — z raportowaniem krzywizn i odkształceń osiowych na każdym poziomie obciążenia.
Sztywności sieczna i styczna (, , ) dają inżynierom rzeczywiste wartości sztywności do zastosowania w modelach konstrukcyjnych, zastępując konwencjonalne założenie stałego . Automatycznie wykrywane zdarzenia sztywności identyfikują kluczowe przejścia na prawach konstytutywnych wraz z odpowiadającymi im poziomami sił i wartościami sztywności.