Wprowadzenie
W poprzednim artykule obliczono powierzchnię interakcji — przestrzenny obszar nośności przekroju żelbetowego w . Solver naprężeniowo-odkształceniowy (Article \#2) może sprawdzać pojedyncze obciążenia, jednak inżynier musi analizować wyniki jeden po drugim lub ograniczać się do przypadku najbardziej niekorzystnego, bez obrazu wszystkich kombinacji względem nośności.
Moduł odległości rozwiązuje to, rzutując każdy punkt obciążenia na powierzchnię interakcji i wyświetlając wynik jako wykres rozrzutu 3D. Dla każdego obciążenia zwraca status (wewnątrz, na zewnątrz lub na granicy) oraz współczynnik określający zapas nośności. Jednym spojrzeniem inżynier identyfikuje obciążenia bezpieczne, przekraczające nośność i o ile.
Dodatkową zaletą jest obsługa norm z zastępczym prostokątnym blokiem naprężeń (ACI 318 blok Whitneya, CSA A23.3, AASHTO). Solver naprężeniowo-odkształceniowy musi stosować prawo paraboliczno-prostokątne, gdyż blok naprężeń nie może napędzać iteracyjnego solvera odkształceniowego. Powierzchnia interakcji jest budowana bezpośrednio z bloku Whitneya, co czyni podejście odległościowe wierniejszym tym normom.
Kompromis: moduł odległości nie zwraca stanu odkształceń ani rozkładu naprężeń. Odpowiada na pytanie "spełnione czy nie, i o ile?", lecz nie "jakie jest naprężenie w każdym włóknie?".
Obliczane wyniki
SectionPro raportuje trzy kategorie wyników dla każdej analizy odległości:
Status i wskaźnik wyk.
Wizualizacja 3D
Eksporty
Podejście a analiza naprężeniowo-odkształceniowa
Poniższa tabela podsumowuje kluczowe różnice między obiema metodami weryfikacji dostępnymi w SectionPro.
| Kryterium | Odległości (ten art.) | Napr.-odkszт. (Article \#2) |
|---|---|---|
| Cel | Wstępna weryfikacja | Stan szczegółowy |
| Wynik | + status | , , FS, siły |
| Stan odkształceń | Nie | Tak |
| Wynik graficzny | Rozrzut 3D | Diagramy napr./odkszт. |
| Zalecane dla | Duże koperty obciążeń | Krytyczne przypadki |
| Blok Whitneya | Zalecany | Prawo realistyczne |
| Mało obciążeń | Narzut pow. | Szybko (bezp. rozw.) |
| Dużo obciążeń | Szybko (jedna pow., tanie promienie) | Wolno (iter./obciążenie) |
Obie metody uzupełniają się. Typowy przepływ: (1) odległości do przeglądu całej koperty i identyfikacji kombinacji krytycznych; (2) solver naprężeniowo-odkształceniowy dla tych przypadków, aby uzyskać pełną odpowiedź przekroju.
Zasada działania modułu odległości
Dla punktu obciążenia i powierzchni interakcji moduł oblicza środek ciężkości siatki powierzchni (gwarantowany wewnątrz obszaru nośności) i śledzi promień z przez do przecięcia z w punkcie . Współczynnik bezpieczeństwa:
- : punkt obciążenia jest wewnątrz powierzchni — przekrój ma rezerwę nośności.
- : punkt obciążenia jest na granicy — przekrój dokładnie na granicy nośności.
- : punkt obciążenia jest na zewnątrz powierzchni — nośność jest przekroczona.
Na wykresie rozrzutu 3D punkty obciążeń są kodowane kolorami: zielony dla wewnętrznych () i czerwony dla zewnętrznych ().
Powierzchnia jest obliczana raz na stan graniczny; każdy punkt obciążenia wymaga jedynie przecięcia promień-powierzchnia, o zaniedbywalnym koszcie w porównaniu do iteracyjnej zbieżności solvera naprężeniowo-odkształceniowego.
Przekrój ośmiokątny (Eurocode 2)
Dane wejściowe
Geometria przekroju, zbrojenie i prawa materiałowe są identyczne z Article \#4 (Powierzchnia interakcji). Zdefiniowano 30 kombinacji: 15 dla ULS-F (kombinacja podstawowa) i 15 dla SLS-C (charakterystyczna), obejmujących czystą siłę osiową, dwuosiowe zginanie, obciążenia złożone, rozciąganie i ściskanie. Beton — Przekrój ośmiokątny — m, m — m, m. Zbrojenie — 48 prętów, rozstaw równomierny 150 mm — Średnica mm, otulina 50 mm. Prawa materiałowe (EC2) — Beton C30/37: MPa — Stal B500B: MPa.
ULS-F (kombinacja podstawowa)
15 kombinacji obciążeń: 8 wewnątrz, 7 na zewnątrz.
| Obciąż. | (kN) | (kN·m) | (kN·m) | (−) | Status |
|---|---|---|---|---|---|
| 8 | Zewnętrzny | ||||
| 7 | Zewnętrzny | ||||
| 4 | Zewnętrzny | ||||
| 5 | Wewnętrzny | ||||
| 3 | Wewnętrzny | ||||
| 2 | Wewnętrzny |
Obciążenie \#4 ( kN, czyste ściskanie) nieznacznie przekracza powierzchnię (), potwierdzając, że kN z Article \#4 jest prawidłowe. Obciążenie \#2 ( kN) leży głęboko wewnątrz (), zgodnie z oczekiwaniami dla obciążenia daleko poniżej .
Obciążenia złożone ukazują niesześcienny kształt powierzchni interakcji: obciążenie \#8 (, ) ma składowe momentów poniżej granic obwiedni (, ), lecz ich kombinacja przesuwa punkt poza powierzchnię ().
SLS-C (charakterystyczny)
15 kombinacji obciążeń: 6 wewnątrz, 9 na zewnątrz.
| Obciąż. | (kN) | (kN·m) | (kN·m) | (−) | Status |
|---|---|---|---|---|---|
| 23 | Zewnętrzny | ||||
| 26 | Zewnętrzny | ||||
| 19 | Zewnętrzny | ||||
| 27 | Wewnętrzny | ||||
| 18 | Wewnętrzny | ||||
| 17 | Wewnętrzny |
Przekrój eliptyczny (ACI 318)
Dane wejściowe
Geometria przekroju, zbrojenie i prawa materiałowe są identyczne z tymi użytymi w Article \#4. Zdefiniowano 30 kombinacji obciążeń: 15 dla ULS i 15 dla SLS. Beton — Przekrój eliptyczny — Szerokość m, Wysokość m. Zbrojenie — 40 prętów wzdłuż obwodu — Średnica mm, otulina 50 mm. Prawa materiałowe (ACI 318) — Beton: MPa — Stal: MPa.
ULS
15 kombinacji obciążeń: 8 wewnątrz, 7 na zewnątrz.
| Obciąż. | (kN) | (kN·m) | (kN·m) | (−) | Status |
|---|---|---|---|---|---|
| 8 | Zewnętrzny | ||||
| 7 | Zewnętrzny | ||||
| 4 | Zewnętrzny | ||||
| 15 | Wewnętrzny | ||||
| 3 | Wewnętrzny | ||||
| 2 | Wewnętrzny |
Współczynniki wg ACI ( do ) i ograniczenie zmniejszają nośność; powierzchnia ULS jest mniejsza niż surowa powierzchnia interakcji. Z Article \#4 obwiednia daje kN, kN·m, kN·m: przekroczenie któregokolwiek limitu gwarantuje niespełnienie nośności (obciążenia \#4 i \#8). Obciążenie \#7 (, kN·m) mieści się we wszystkich granicach, a mimo to wypada poza powierzchnię (); obwiednia tego nie wykryje, powierzchnia 3D tak.
SLS
15 kombinacji obciążeń: 7 wewnątrz, 8 na zewnątrz.
| Obciąż. | (kN) | (kN·m) | (kN·m) | (−) | Status |
|---|---|---|---|---|---|
| 23 | Zewnętrzny | ||||
| 26 | Zewnętrzny | ||||
| 19 | Zewnętrzny | ||||
| 27 | Wewnętrzny | ||||
| 18 | Wewnętrzny | ||||
| 17 | Wewnętrzny |
W SLS beton jest ograniczony do naprężenia dopuszczalnego ( MPa), co daje znacznie mniejszą powierzchnię niż w ULS. Obciążenie \#23 jest najbardziej niekorzystne w obu stanach granicznych (): złożone dwuosiowe zginanie (, kN·m) znacznie przekracza nośność SLS, mimo że każdy moment indywidualnie mieściłby się w obwiedni.
Wzajemna weryfikacja z solverem naprężeniowo-odkształceniowym
Moduł odległości rzutuje punkty obciążeń na gotową siatkę powierzchni interakcji. Solver NR (Newton-Raphson, Article \#2) iteruje dla każdego obciążenia osobno. Obie metody powinny być zgodne: obciążenie wewnątrz () musi spełniać graniczne odkształcenia materiałów, a obciążenie na zewnątrz () musi naruszać co najmniej jedną granicę.
Porównanie dla 15 obciążeń (przekrój ośmiokątny, ULS-F)
Dla każdego obciążenia tabela podaje wynik modułu odległości ( i status Wewn./Zewn.), a następnie wyniki solvera: najniekorzystniejsze odkształcenie betonu i stali (oba w ‰, wartości bezwzględne) oraz odpowiedni wynik materiałowy.
| Obciąż. | (kN) | (kN·m) | (kN·m) | (−) | Status | (‰) | (‰) | Wynik |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Wewnętrzny | OK | ||||||
| 2 | Wewnętrzny | OK | ||||||
| 3 | Wewnętrzny | OK | ||||||
| 4 | Zewnętrzny | KO | ||||||
| 5 | Wewnętrzny | OK | ||||||
| 6 | Zewnętrzny | KO | ||||||
| 7 | Zewnętrzny | KO | ||||||
| 8 | Zewnętrzny | KO | ||||||
| 9 | Wewnętrzny | OK | ||||||
| 10 | Zewnętrzny | KO | ||||||
| 11 | Zewnętrzny | KO | ||||||
| 12 | Wewnętrzny | OK | ||||||
| 13 | Zewnętrzny | KO | ||||||
| 14 | Wewnętrzny | OK | ||||||
| 15 | Wewnętrzny | OK |
Obie metody są w pełni zgodne. Każde obciążenie Zewnętrzne jest potwierdzone przez przekroczenie co najmniej jednego materiału (beton, stal lub oba), a każde Wewnętrzne spełnia wszystkie granice odkształceń. Współczynnik jest wiarygodnym wskaźnikiem zapasu: obciążenia głęboko wewnątrz mają odkształcenia daleko poniżej granic, bliskie granicy zbliżają się do niej, a wyraźnie zewnętrzne znacznie ją przekraczają. Obciążenia 10–11: tylko miażdżenie betonu. Obciążenia 6–8 i 13: obie granice przekroczone jednocześnie.
Benchmark z 100 000 obciążeń
Obie metody zastosowano do 100 000 losowych kombinacji obciążeń ( kN, kN·m, wszystkie dla ULS-F). Powierzchnia jest budowana raz (31 ms) i wielokrotnie używana do wszystkich zapytań.
| Metoda | Obciąż. | Czas zapyt. | Wydajność | Wewnętrzny | Zewnętrzny |
|---|---|---|---|---|---|
| Odległości (tylko zapytania) | ms | M/s | % | % | |
| Naprężenia-odkształcenia NR | ms | M/s | % | % |
Zgodność: 99,97% (99 974 z 100 000 obciążeń sklasyfikowanych identycznie). 26 rozbieżności ma : punkty leżą w odległości 0,2% od granicy powierzchni i są praktycznie na granicy według każdego kryterium.
Jest to zachowanie oczekiwane. Moduł odległości nie stosuje ścisłego testu : obciążenia wystarczająco bliskie 1 są traktowane jako przypadek graniczny. W tej strefie wynik odległości zależy od rozdzielczości siatki, solver NR zaś iteruje do dokładnej równowagi; solver NR jest arbitrem końcowym.
Inżynieryjnie, gdy , nie należy polegać wyłącznie na automatycznej klasyfikacji. Właściwą reakcją jest obliczenie NR lub modyfikacja przekroju w celu uzyskania wyraźnego zapasu ( poniżej 1).
Moduł odległości jest 15 razy szybszy od solvera NR (faza zapytań). W praktyce obie metody są natychmiastowe dla typowych zadań; przewaga staje się istotna przy pętlach optymalizacyjnych i badaniach parametrycznych, gdzie miliony kombinacji oceniane są wielokrotnie.
Wnioski
Moduł odległości zapewnia szybką metodę sprawdzania dowolnej liczby kombinacji względem powierzchni interakcji przekroju żelbetowego. Dla każdego obciążenia zwraca i status Wewn./Zewn., dając inżynierowi natychmiastowy obraz kombinacji krytycznych we wszystkich stanach granicznych.
Weryfikacja na 100 000 obciążeń potwierdza 99,97% zgodność z solverem NR. 26 rozbieżności leży w odległości 0,2% od granicy, gdzie dyskretyzacja siatki czyni klasyfikację niepewną; solver NR pozostaje arbitrem. Dla obciążeń wyraźnie wewnątrz lub na zewnątrz obie metody są w pełni zgodne.
Obie metody są natychmiastowe w rutynowej pracy. Podejście odległościowe zyskuje przewagę przy milionach kombinacji (optymalizacja, badania parametryczne, sprawdzanie norm), gdzie wielokrotne użycie powierzchni eliminuje redundantne obliczenia.
Kluczową zaletą jest trójwymiarowy wykres rozrzutu: dla każdego stanu granicznego wszystkie kombinacje obciążeń i obszar nośności widoczne na jednej rycinie. Inżynier identyfikuje jednym spojrzeniem obciążenia bezpieczne i przekraczające nośność; gotowa grafika do raportu obliczeniowego.
Eksport
SectionPro eksportuje wyniki w trzech formatach. Raport PDF zawiera widoki 3D powierzchni interakcji z punktami obciążeń. Dla każdego stanu granicznego identyfikowane jest obciążenie krytyczne, po którym następuje tabela wyników posortowana malejąco wg . Eksporty do Excela i pliku tekstowego zawierają te same dane tabelaryczne.
