Inleiding
Gewapend beton is geen lineair materiaal: de buigstijfheid hangt af van het belastingsniveau. Bij lage belastingen bevinden alle materialen zich in het elastische (staal) of initieel tangent (beton) bereik van hun materiaalwetten, zodat hoog is. Naarmate de belasting toeneemt, komt het beton in de dalende tak van zijn parabool-rechthoekwet en bereikt het staal zijn vloeiplateau, waardoor daalt. Deze degradatie is van belang voor het schatten van realistische doorbuigingen, maar ook bij statisch onbepaalde constructies, tweede-orde analyse en herverdeling.
SectionPro volgt de volledige doorsnederespons door twee krachtcomponenten vast te houden en de derde (, of ) te laten toenemen van nul tot bezwijken. Bij elke stap wordt een iteratief evenwicht opgelost om de rektoestand te bepalen. Er worden drie krommen geproduceerd: kracht-vervorming (-), secante stijfheid en tangent stijfheid . De secante stijfheid (helling van de oorsprong naar het huidige punt) vertegenwoordigt de gemiddelde stijfheid langs het belastingspad, vaak gebruikt in iteratieve EEM-analyse. De tangent stijfheid (momentane helling) geeft de exacte stijfheid voor een gegeven belastingstoestand, gebruikt in niet-lineaire analyse waarbij de stijfheidsmatrix bij elke stap wordt bijgewerkt.
De oplosser detecteert ook stijfheidsgebeurtenissen: belangrijke overgangen op de materiaalwetten (elasticiteit naar plasticiteit, en breuk). Voor staal kunnen gebeurtenissen optreden bij zowel trek als druk; voor beton bij druk (plastisch plateau bij en betondrukbreuk bij ). Elke gebeurtenis wordt gerapporteerd met het materiaal, de rekdrempel, het krachtniveau en de bijbehorende en .
Berekende resultaten
Krommen
Gebeurtenissentabel
Exports
Rechthoekige doorsnede (Eurocode 2)
Invoergegevens
Beton: Massieve rechthoekige doorsnede, Breedte m, Hoogte m. Wapening: 56 staven, uniforme afstand 100 mm, diameter mm, betondekking 50 mm, wapeningspercentage . Materiaalwetten (EC2): Beton C40/50 MPa, Staal B500B MPa.
De stijfheidskromme wordt berekend onder zuivere buiging: de vrije component is (kromming ) terwijl en vastgehouden worden. De grenstoestand is UGT Fundamenteel (, ). De kromming wordt doorlopen van nul tot bezwijken, en bij elke stap worden het bijbehorende moment en de stijfheid berekend.
Moment-kromming en tangent stijfheid
De - kromme vertoont de klassieke vorm: een steile initiële tak waar de tangentmoduli hoog zijn, een overgangsknik bij gebeurtenis #1 (vloeien van het staal), en een lang plastisch plateau waar bijkomende kromming weinig extra moment oplevert. Het ultieme moment ligt slechts 25% boven het vloeimomment, maar de kromming is tienvoudig toegenomen.
De tangent stijfheid blijft quasi-constant gedurende het elastische bereik en daalt vervolgens sterk bij gebeurtenis #1. De daling is abrupt omdat alle staven in de onderste laag dezelfde -coördinaat delen en dus gelijktijdig vloeien; dit is de hoofdbuigwapening, zodat het verlies aan stijfheid een onmiddellijk effect heeft ( gedeeld door 4 bij deze ene gebeurtenis). Voorbij gebeurtenis #2 daalt tot bijna nul, wat het bijna vlakke plastische plateau op de - kromme weerspiegelt.
Secante stijfheid en axiale stijfheid
De secante stijfheid blijft nagenoeg constant gedurende het elastische bereik. De daling begint bij gebeurtenis #1 (vloeien van het staal), met slechts een reductie van 2% op dat punt. De steile daling treedt op tussen gebeurtenissen #1 en #2, wanneer het staal vloeit en het beton zijn plastisch plateau bereikt. Bij bezwijken resteert slechts ongeveer 11% van de initiële stijfheid.
De axiale stijfheid volgt een eenvoudiger patroon: zij neemt af naarmate de tangentmodulus van de parabool-rechthoekwet van het beton afneemt onder toenemende drukrek. De kromme eindigt wanneer de doorsnede de ultieme drukrek van het beton bereikt.
Stijfheidsgebeurtenissen
| # | Materiaal | εc / εs (‰) | χz (‰) | Mz (kN·m) | EI sec (kN·m²) | EI tan (kN·m²) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Staal | 2.174 | 3.084 | 4 500 | 1.459E6 | 1.420E6 |
| 2 | Beton | −2.000 | 14.764 | 5 393 | 3.653E5 | 1.897E4 |
| 3 | Beton | −3.500 | 34.576 | 5 618 | 1.625E5 | 9.451E3 |
Gebeurtenis #1 is het begin van het vloeien van het staal ( ‰). Gebeurtenis #2 markeert het bereiken van de plastische plateaurek van het beton ‰. Gebeurtenis #3 is betondrukbreuk bij ‰, wat de kromme beëindigt.
Holle langwerpige doorsnede (BAEL 91)
Invoergegevens
Beton: Holle langwerpige doorsnede, Totale breedte m, Hoogte m, Rechthoekige breedte m, Wanddikte m. Wapening: 108 staven, uitwendige afstand 200 mm, diameter mm, betondekking 50 mm, wapeningspercentage . Materiaalwetten (BAEL 91): Beton MPa, ; Staal MPa, scheurvorming P.
De stijfheidskromme wordt berekend onder zuivere buiging om de sterke as: de vrije component is (kromming ) terwijl en vastgehouden worden. De grenstoestand is UGT Blijvend & Tijdelijk. Deze doorsnede is typerend voor brugdekdoorsneden; het grote traagheidsmoment levert een hoge initiële en de holle kern versterkt de stijfheidsdaling na scheurvorming.
Moment-kromming en tangent stijfheid
De - kromme toont dat de stijfheidsdegradatie begint bij gebeurtenis #1 (vloeien van het staal). Het ultieme moment ligt 50% boven het vloeimoment. De kromme eindigt door staalbreuk (gebeurtenis #3) in plaats van betondrukbreuk — een ander bezwijkmechanisme dan bij de rechthoekige doorsnede. Niet alle gebeurtenissen treden op bij alle doorsneden: het bezwijkmechanisme hangt af van de geometrie, de wapeningsindeling en de materiaalwetten.
De tangent stijfheid blijft quasi-constant gedurende het elastische bereik. Het trappatroon (hier meer uitgesproken dan bij de rechthoekige doorsnede) weerspiegelt het progressief vloeien van individuele wapeningsstaven langs de omtrek. Na gebeurtenis #2 blijft dalen en bereikt bij bezwijken twee grootte-ordes onder de initiële waarde.
Secante stijfheid en axiale stijfheid
De secante stijfheid degradeert geleidelijk: slechts een daling van 3% bij gebeurtenis #1. De kromme wordt steiler na gebeurtenis #2, en bij bezwijken resteert ongeveer 35% van de initiële stijfheid. De kleinere relatieve daling vergeleken met de rechthoekige doorsnede (65% vs. 89%) is typerend voor holle doorsneden met hoge wapeningspercentages.
Stijfheidsgebeurtenissen
| # | Materiaal | εc / εs (‰) | χy (‰) | My (kN·m) | EI sec (kN·m²) | EI tan (kN·m²) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Staal | 2.174 | 0.742 | 25 324 | 3.411E7 | 3.244E7 |
| 2 | Beton | −2.000 | 2.547 | 37 356 | 1.466E7 | 1.439E6 |
| 3 | Staal | 10.000 | 3.119 | 38 006 | 1.219E7 | 9.154E5 |
Gebeurtenis #1 is het begin van het vloeien van het staal ( ‰). Gebeurtenis #2 markeert het bereiken van het plastische plateau van het beton ( ‰). Gebeurtenis #3 is staalbreuk bij ‰ (de ontwerp-uiterste rek volgens BAEL), wat de kromme beëindigt. In tegenstelling tot de rechthoekige doorsnede waar het bezwijken werd bepaald door betondrukbreuk (), bezwijkt deze doorsnede door staalbreuk.
Prestatiebenchmark
| Discretisatiepunten | Rechthoekig EC2 (ms) | Langwerpig BAEL (ms) |
|---|---|---|
| 100 | 5.2 | 6.5 |
| 500 | 15.5 | 11.3 |
| 1 000 (standaard) | 17.3 | 19.5 |
| 5 000 | 61.0 | 60.9 |
De berekening is vrijwel instantaan ongeacht het aantal discretisatiepunten: zelfs bij 5 000 punten zijn beide doorsneden in minder dan 61 ms voltooid.
Export
SectionPro exporteert de krommewaarden in PDF-, TXT- en XLS-formaat voor hergebruik in externe programma's. De PDF-export bevat ook visualisaties van de krommen.
Conclusie
De stijfheidskrommemodule levert het werkelijke verloop van de buig- en axiale stijfheid als functie van de belastingstoestand. Door een krachtcomponent van nul tot bezwijken te doorlopen, wordt het volledige degradatiepad vastgelegd — van de initiële elastische respons via progressief vloeien tot breuk — en worden de krommingen en axiale rekken bij elk belastingsniveau gerapporteerd.
De secante en tangent stijfheden (, , ) geven ingenieurs de werkelijke stijfheidswaarden voor gebruik in constructieve modellen, ter vervanging van de conventionele aanname van constante . De automatisch gedetecteerde stijfheidsgebeurtenissen identificeren de belangrijkste overgangen op de materiaalwetten met de bijbehorende krachtniveaus en stijfheidswaarden.