Inleiding
De mechanische eigenschappen van een doorsnede — oppervlakte, traagheidsmoment, zwaartepunt, torsieconstante, afschuifoppervlakten — vormen het uitgangspunt van elke constructieve berekening. Dit artikel laat zien hoe u deze kunt bepalen met SectionPro, aan de hand van drie verschillende geometrieën:
- Vierkante doorsnede — het eenvoudigste geval, alle eigenschappen kunnen analytisch worden berekend.
- Holle cirkelvormige doorsnede — torsie en traagheidsmoment blijven analytisch, maar de afschuifoppervlakten vereisen een numerieke berekening.
- L-vormige wand — alleen de geometrische eigenschappen zijn analytisch. Torsie, afschuiving en welving zijn puur numeriek. Deze doorsnede illustreert het geval van een asymmetrische geometrie ().
Berekende eigenschappen
SectionPro berekent de volgende eigenschappen. De eerste drie groepen worden berekend voor de bruto doorsnede, netto doorsnede (na aftrek van uitsparingen ter plaatse van de wapening) en de gehomogeniseerde doorsnede (rekening houdend met de wapening via de modulariteitscoëfficiënt ):
Algemene resultaten
Zwaartepuntsassen
Hoofdassen
Torsie & afschuiving (FEM)
De torsie- en afschuifeigenschappen vereisen het oplossen van een differentiaalvergelijking met de eindige-elementenmethode.
Vierkante doorsnede
Invoergegevens
Beton — Zijdelengte m, dichtheid t/m³. Wapening — HA25 met tussenafstand 200 mm, dekking 50 mm, 1 laag — modulariteitscoëfficiënt .
Invoer en resultaten
Door de dubbele symmetrie ligt het zwaartepunt in het midden van het vierkant, is de hoofdhoek nul en zijn beide traagheidsmomenten gelijk.
Algemene resultaten
| Eenheid | Bruto | Netto | Hom. | |
|---|---|---|---|---|
| m² | 4.0000 | 3.9823 | 4.0707 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 8.0000 | — | — | |
| T/m | 10.0000 | — | — |
Buiging — Zwaartepuntsassen
| Eenheid | Bruto | Netto | Hom. | |
|---|---|---|---|---|
| m⁴ | 1.3333 | 1.3226 | 1.3761 | |
| m⁴ | 1.3333 | 1.3226 | 1.3761 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 |
Buiging — Hoofdassen
| Eenheid | Bruto | Netto | Hom. | |
|---|---|---|---|---|
| m⁴ | 1.3333 | 1.3226 | 1.3761 | |
| m⁴ | 1.3333 | 1.3226 | 1.3761 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| ° | 0.00 | 0.00 | 0.00 |
Torsie en afschuiving (FEM)
Door de dubbele symmetrie valt het dwarskrachtmiddelpunt samen met het zwaartepunt ( m). De welving is nagenoeg nul (). De verhouding , typisch voor een massieve doorsnede.
| Eenheid | m⁴ | m² | m² | m | m | m⁶ |
| Waarde | 2.2492 | 3.3333 | 3.3333 | 1.0000 | 1.0000 | 0.0086 |
Holle cirkelvormige doorsnede
Invoergegevens
Beton — Buitendiameter m, wanddikte m, dichtheid t/m³. Wapening — 24 HA20, dekking 50 mm, 1 laag — modulariteitscoëfficiënt .
Invoer en resultaten
Door de cirkelsymmetrie zijn de traagheidsmomenten gelijk en is de hoofdhoek onbepaald (weergegeven als 0°).
Algemene resultaten
| Eenheid | Bruto | Netto | Hom. | |
|---|---|---|---|---|
| m² | 1.6022 | 1.5871 | 1.6625 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 6.2832 | — | — | |
| T/m | 4.0055 | — | — |
Buiging — Zwaartepuntsassen
| Eenheid | Bruto | Netto | Hom. | |
|---|---|---|---|---|
| m⁴ | 0.5968 | 0.5913 | 0.6189 | |
| m⁴ | 0.5968 | 0.5913 | 0.6189 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 |
Buiging — Hoofdassen
| Eenheid | Bruto | Netto | Hom. | |
|---|---|---|---|---|
| m⁴ | 0.5968 | 0.5913 | 0.6189 | |
| m⁴ | 0.5968 | 0.5913 | 0.6189 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| m | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | |
| ° | 0.00 | 0.00 | 0.00 |
Torsie en afschuiving (FEM)
Door de rotatiesymmetrie valt het dwarskrachtmiddelpunt samen met het zwaartepunt ( m) en is de welving nul (). De verhouding : de holle doorsnede is minder efficiënt op afschuiving dan een massieve doorsnede.
| Eenheid | m⁴ | m² | m² | m | m | m⁶ |
| Waarde | 1.1936 | 0.8422 | 0.8422 | 1.0000 | 1.0000 | 0.0000 |
L-vormige wand
Invoergegevens
Beton — L-vorm — breedte 2.0 m, hoogte 2.0 m, dikte m, dichtheid t/m³. Wapening — HA20 met tussenafstand 200 mm, dekking 40 mm, 1 laag — modulariteitscoëfficiënt .
Invoer en resultaten
Aangezien beide flenzen dezelfde lengte hebben, geldt en is de hoofdhoek exact .
Algemene resultaten
| Eenheid | Bruto | Netto | Hom. | |
|---|---|---|---|---|
| m² | 1.1100 | 1.0974 | 1.1603 | |
| m | 0.6095 | 0.6093 | 0.6100 | |
| m | 0.6095 | 0.6093 | 0.6100 | |
| m | 8.0000 | — | — | |
| T/m | 2.7750 | — | — |
Buiging — Zwaartepuntsassen
| Eenheid | Bruto | Netto | Hom. | |
|---|---|---|---|---|
| m⁴ | 0.4030 | 0.3981 | 0.4225 | |
| m⁴ | 0.4030 | 0.3981 | 0.4225 | |
| m | 1.3905 | 1.3907 | 1.3900 | |
| m | 0.6095 | 0.6093 | 0.6100 | |
| m | 1.3905 | 1.3907 | 1.3900 | |
| m | 0.6095 | 0.6093 | 0.6100 |
Buiging — Hoofdassen
| Eenheid | Bruto | Netto | Hom. | |
|---|---|---|---|---|
| m⁴ | 0.6373 | 0.6297 | 0.6679 | |
| m⁴ | 0.1687 | 0.1666 | 0.1771 | |
| m | 1.4142 | 1.4142 | 1.4142 | |
| m | 1.4142 | 1.4142 | 1.4142 | |
| m | 0.7644 | 0.7644 | 0.7644 | |
| m | 0.8619 | 0.8619 | 0.8619 | |
| ° | 45.00 | 45.00 | 45.00 |
Torsie en afschuiving (FEM)
Het dwarskrachtmiddelpunt ( m) is verschoven naar de inspringende hoek, ver van het zwaartepunt ( m). De welving is significant ( m⁶). De torsieconstante m⁴ is zeer klein — typisch voor een open dunwandige doorsnede. De verhouding .
| Eenheid | m⁴ | m² | m² | m | m | m⁶ |
| Waarde | 0.0322 | 0.5037 | 0.5037 | 0.1637 | 0.1637 | 0.0091 |
Validatie van resultaten
De resultaten van SectionPro worden op twee manieren gevalideerd: door vergelijking met analytische formules (wanneer deze bestaan) en door kruisvalidatie met referentiesoftware die een onafhankelijke eindige-elementenoplosser gebruikt.
Analytische formules
Vierkante doorsnede ( m)
De torsieconstante wordt verkregen uit de reeks van Saint-Venant:
Holle cirkelvormige doorsnede ( m, m)
Afschuifoppervlakten hebben geen eenvoudige gesloten uitdrukking; de differentiaalvergelijking moet numeriek worden opgelost.
L-vormige wand ( m, m)
Door decompositie (flens + lijf ) en de stelling van Steiner:
Er bestaat geen exacte analytische formule voor torsie, afschuiving en welving. De Vlasov-balktheorie (open dunwandige doorsneden) geeft echter een orde van grootte: m⁴ en het dwarskrachtmiddelpunt ligt bij benadering op het snijpunt van de middellijnen van de flenzen ( m). Deze schattingen veronderstellen een oneindig kleine dikte ten opzichte van de flenslengte; hier is , en dikte-effecten verschuiven de werkelijke waarden ten opzichte van dit vereenvoudigde model.
Netto en gehomogeniseerde doorsneden
Voor een doorsnede gewapend met stalen staven met oppervlakte op coördinaten , met modulariteitscoëfficiënt :
Het zwaartepunt verschuift licht:
Het traagheidsmoment wordt afgeleid met de stelling van Steiner, rekening houdend met de verschuiving van het zwaartepunt :
Validatie — Buigingseigenschappen
De bovenstaande analytische formules zijn toegepast op alle drie de doorsneden met de exacte wapeningscoördinaten geëxporteerd door SectionPro. Alle resultaten komen overeen.
| Doorsnede | Eigenschap | Bruto | Δ | Netto | Δ | Hom. | Δ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Vierkant | (m²) | 4.0000 | 0.00 % | 3.9823 | 0.00 % | 4.0707 | 0.00 % |
| (m) | 1.0000 | 0.00 % | 1.0000 | 0.00 % | 1.0000 | 0.00 % | |
| (m⁴) | 1.3333 | 0.00 % | 1.3226 | 0.00 % | 1.3761 | 0.00 % | |
| Holle cirkel | (m²) | 1.6022 | 0.00 % | 1.5871 | 0.00 % | 1.6625 | 0.00 % |
| (m) | 1.0000 | 0.00 % | 1.0000 | 0.00 % | 1.0000 | 0.00 % | |
| (m⁴) | 0.5968 | 0.00 % | 0.5913 | 0.00 % | 0.6189 | 0.00 % | |
| L-wand | (m²) | 1.1100 | 0.00 % | 1.0974 | 0.00 % | 1.1603 | 0.00 % |
| (m) | 0.6095 | 0.00 % | 0.6093 | 0.00 % | 0.6100 | 0.00 % | |
| (m⁴) | 0.4030 | 0.00 % | 0.3981 | 0.00 % | 0.4225 | 0.00 % |
Validatie — Torsie en afschuiving (kruisvalidatie)
Torsie- en afschuifeigenschappen, berekend met eindige elementen, worden vergeleken met referentiesoftware die een onafhankelijke oplosser gebruikt.
| Doorsnede | Eigenschap | Analytisch | SectionPro | Δ | Ref. | Δ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Vierkant | (m⁴) | 2.2489 | 2.2492 | 0.01 % | 2.2585 | 0.41 % |
| (m²) | 3.3333 | 3.3333 | 0.00 % | 3.3355 | 0.07 % | |
| (m) | 1.0000 | 1.0000 | 0.00 % | 1.0000 | 0.00 % | |
| Holle cirkel | (m⁴) | 1.1936 | 1.1936 | 0.00 % | 1.1920 | 0.13 % |
| (m²) | — | 0.8422 | — | 0.8418 | — | |
| (m) | 1.0000 | 1.0000 | 0.00 % | 1.0000 | 0.00 % | |
| L-wand | (m⁴) | — | 0.0322 | — | 0.0328 | — |
| (m²) | — | 0.5037 | — | 0.5054 | — | |
| (m²) | — | 0.5037 | — | 0.5024 | — | |
| (m) | — | 0.1637 | — | 0.1639 | — |
Conclusie
| Doorsnede | Validatie | Buigingsfout | Torsiefout (ref.) |
|---|---|---|---|
| Vierkant | Analytisch | 0.00 % | 0.41 % |
| Holle cirkel | Analytisch + referentie (, ) | 0.00 % | 0.13 % |
| L-wand | Analytisch + referentie (, , , , ) | 0.00 % | 1.86 % |
Buigingseigenschappen (oppervlakte, zwaartepunt, traagheidsmomenten) worden met perfecte nauwkeurigheid gereproduceerd voor alle drie de geometrieën, voor bruto, netto en gehomogeniseerde doorsneden (0.00% afwijking van analytische formules).
Torsie- en afschuifeigenschappen, berekend met eindige elementen, zijn afhankelijk van de maasfinheid. Kruisvalidatie met referentiesoftware toont een uitstekende overeenstemming tussen beide oplossers. SectionPro vertoont een betere convergentie, zoals blijkt uit de exacte overeenkomst met analytische torsie- en afschuifoplossingen wanneer deze bestaan.