Einleitung
Stahlbeton ist kein linearer Werkstoff: Seine Biegesteifigkeit hängt vom Belastungsniveau ab. Bei geringen Lasten verbleiben alle Materialien im elastischen (Stahl) bzw. im anfänglichen Tangentenbereich (Beton) ihrer Stoffgesetze, sodass hoch ist. Mit zunehmender Belastung tritt der Beton in den abfallenden Ast seines Parabel-Rechteck-Gesetzes ein und der Stahl erreicht seine Fließgrenze, wodurch abfällt. Dieser Steifigkeitsabbau ist für die Ermittlung realistischer Verformungen von Bedeutung, aber auch bei statisch unbestimmten Tragwerken, Berechnungen nach Theorie II. Ordnung und bei Schnittgrößenumlagerungen.
SectionPro zeichnet das vollständige Querschnittsverhalten nach, indem zwei Kraftkomponenten festgehalten und die dritte (, oder ) von null bis zum Versagen gesteigert wird. In jedem Schritt wird ein iteratives Gleichgewicht gelöst, um den Dehnungszustand zu ermitteln. Drei Kurven werden erzeugt: Kraft-Verformung (-), Sekantensteifigkeit und Tangentensteifigkeit . Die Sekantensteifigkeit (Steigung vom Ursprung zum aktuellen Punkt) repräsentiert die mittlere Steifigkeit entlang des Belastungspfades und wird häufig in iterativen FEM-Berechnungen verwendet. Die Tangentensteifigkeit (momentane Steigung) liefert die exakte Steifigkeit für einen gegebenen Belastungszustand und wird in nichtlinearen Berechnungen eingesetzt, bei denen die Steifigkeitsmatrix in jedem Schritt aktualisiert wird.
Der Löser erkennt auch Steifigkeitsereignisse: wesentliche Übergänge auf den Stoffgesetzen (Elastizität zu Plastizität und Bruch). Beim Stahl können Ereignisse sowohl bei Zug als auch bei Druck auftreten; beim Beton bei Druck (plastisches Plateau bei und Betondruckbruch bei ). Jedes Ereignis wird mit dem beteiligten Material, dem Dehnungsgrenzwert, dem Kraftniveau sowie den zugehörigen Werten und protokolliert.
Berechnete Ergebnisse
Kurven
Ereignistabelle
Exporte
Rechteckquerschnitt (Eurocode 2)
Eingabedaten
Beton: Massiver Rechteckquerschnitt, Breite m, Höhe m. Bewehrung: 56 Stäbe, gleichmäßiger Abstand 100 mm, Durchmesser mm, Betondeckung 50 mm, Bewehrungsgrad . Stoffgesetze (EC2): Beton C40/50 MPa, Stahl B500B MPa.
Die Steifigkeitskurve wird unter reiner Biegung berechnet: Die freie Komponente ist (Krümmung ), während und festgehalten werden. Der Grenzzustand ist GZT Grundkombination (, ). Die Krümmung wird von null bis zum Versagen durchlaufen, und in jedem Schritt werden das zugehörige Moment und die Steifigkeit berechnet.
Momenten-Krümmung und Tangentensteifigkeit
Die --Kurve zeigt den klassischen Verlauf: einen steilen Anfangsast mit hohen Tangentenmoduln, ein Übergangsknie bei Ereignis #1 (Fließen des Stahls) und ein langes plastisches Plateau, bei dem zusätzliche Krümmung nur wenig zusätzliches Moment erzeugt. Das Bruchmoment liegt nur 25% über dem Fließmoment, aber die Krümmung hat sich verzehnfacht.
Die Tangentensteifigkeit bleibt im elastischen Bereich nahezu konstant und fällt dann bei Ereignis #1 abrupt ab. Der Abfall ist schlagartig, da alle Stäbe in der unteren Lage dieselbe -Koordinate haben und daher gleichzeitig fließen; dies ist die Hauptbiegbewehrung, sodass der Verlust ihrer Steifigkeit eine sofortige Auswirkung hat ( wird durch dieses einzelne Ereignis auf ein Viertel reduziert). Jenseits von Ereignis #2 fällt auf nahezu null, was das fast flache plastische Plateau der --Kurve widerspiegelt.
Sekantensteifigkeit und Dehnsteifigkeit
Die Sekantensteifigkeit bleibt im elastischen Bereich nahezu konstant. Der Abfall beginnt bei Ereignis #1 (Fließen des Stahls) mit einer Reduktion von nur 2% an diesem Punkt. Der steile Abfall erfolgt zwischen den Ereignissen #1 und #2, wenn der Stahl fließt und der Beton sein plastisches Plateau erreicht. Beim Versagen sind nur noch etwa 11% der anfänglichen Steifigkeit vorhanden.
Die Dehnsteifigkeit folgt einem einfacheren Muster: Sie nimmt ab, wenn der Tangentenmodul des Parabel-Rechteck-Gesetzes des Betons bei zunehmender Druckdehnung abnimmt. Die Kurve endet, wenn der Querschnitt die Bruchdehnung des Betons erreicht.
Steifigkeitsereignisse
| # | Material | εc / εs (‰) | χz (‰) | Mz (kN·m) | EI sec (kN·m²) | EI tan (kN·m²) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Stahl | 2.174 | 3.084 | 4 500 | 1.459E6 | 1.420E6 |
| 2 | Beton | −2.000 | 14.764 | 5 393 | 3.653E5 | 1.897E4 |
| 3 | Beton | −3.500 | 34.576 | 5 618 | 1.625E5 | 9.451E3 |
Ereignis #1 ist der Beginn des Stahlfließens ( ‰). Ereignis #2 markiert das Erreichen des plastischen Plateaus des Betons bei der Dehnung ‰. Ereignis #3 ist der Betondruckbruch bei ‰, der die Kurve beendet.
Hohloblongquerschnitt (BAEL 91)
Eingabedaten
Beton: Hohloblongquerschnitt, Gesamtbreite m, Höhe m, Rechteckbreite m, Wanddicke m. Bewehrung: 108 Stäbe, Außenabstand 200 mm, Durchmesser mm, Betondeckung 50 mm, Bewehrungsgrad . Stoffgesetze (BAEL 91): Beton MPa, ; Stahl MPa, Rissbildung P.
Die Steifigkeitskurve wird unter reiner Biegung um die starke Achse berechnet: Die freie Komponente ist (Krümmung ), während und festgehalten werden. Der Grenzzustand ist GZT ständige und vorübergehende Bemessungssituation. Dieser Querschnitt ist typisch für Brückenüberbauten; das große Trägheitsmoment erzeugt eine hohe anfängliche Steifigkeit , und der Hohlkern verstärkt den Steifigkeitsabfall nach der Rissbildung.
Momenten-Krümmung und Tangentensteifigkeit
Die --Kurve zeigt, dass der Steifigkeitsabbau bei Ereignis #1 (Fließen des Stahls) beginnt. Das Bruchmoment liegt 50% über dem Fließmoment. Die Kurve endet durch Stahlbruch (Ereignis #3) und nicht durch Betondruckbruch — ein anderer Versagensmechanismus als beim Rechteckquerschnitt. Nicht alle Ereignisse treten bei allen Querschnitten auf: Der Versagensmechanismus hängt von der Geometrie, der Bewehrungsanordnung und den Stoffgesetzen ab.
Die Tangentensteifigkeit bleibt im elastischen Bereich nahezu konstant. Das Treppenmuster (hier ausgeprägter als beim Rechteckquerschnitt) spiegelt das fortschreitende Fließen einzelner Bewehrungsstäbe entlang des Umfangs wider. Nach Ereignis #2 fällt weiter ab und erreicht beim Versagen Werte, die zwei Größenordnungen unter dem Anfangswert liegen.
Sekantensteifigkeit und Dehnsteifigkeit
Die Sekantensteifigkeit baut sich allmählich ab: nur 3% Abfall bei Ereignis #1. Die Kurve wird nach Ereignis #2 steiler, und beim Versagen sind noch etwa 35% der anfänglichen Steifigkeit vorhanden. Der geringere relative Abfall im Vergleich zum Rechteckquerschnitt (65% vs. 89%) ist typisch für Hohlquerschnitte mit hohem Bewehrungsgrad.
Steifigkeitsereignisse
| # | Material | εc / εs (‰) | χy (‰) | My (kN·m) | EI sec (kN·m²) | EI tan (kN·m²) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Stahl | 2.174 | 0.742 | 25 324 | 3.411E7 | 3.244E7 |
| 2 | Beton | −2.000 | 2.547 | 37 356 | 1.466E7 | 1.439E6 |
| 3 | Stahl | 10.000 | 3.119 | 38 006 | 1.219E7 | 9.154E5 |
Ereignis #1 ist der Beginn des Stahlfließens ( ‰). Ereignis #2 markiert das Erreichen des plastischen Plateaus des Betons ( ‰). Ereignis #3 ist der Stahlbruch bei ‰ (die rechnerische Bruchdehnung nach BAEL), der die Kurve beendet. Im Gegensatz zum Rechteckquerschnitt, bei dem das Versagen durch Betondruckbruch () bestimmt wurde, versagt dieser Querschnitt durch Stahlbruch.
Leistungsbenchmark
| Diskretisierungspunkte | Rechteck EC2 (ms) | Oblong BAEL (ms) |
|---|---|---|
| 100 | 5.2 | 6.5 |
| 500 | 15.5 | 11.3 |
| 1 000 (Standard) | 17.3 | 19.5 |
| 5 000 | 61.0 | 60.9 |
Die Berechnung erfolgt unabhängig von der Anzahl der Diskretisierungspunkte praktisch augenblicklich: Selbst bei 5 000 Punkten werden beide Querschnitte in unter 61 ms berechnet.
Export
SectionPro exportiert die Kurvenwerte in den Formaten PDF, TXT und XLS zur Weiterverwendung in externen Programmen. Der PDF-Export enthält auch Visualisierungen der Kurven.
Fazit
Das Steifigkeitskurven-Modul liefert den tatsächlichen Verlauf der Biege- und Dehnsteifigkeit in Abhängigkeit vom Belastungszustand. Durch das Durchfahren einer Kraftkomponente von null bis zum Versagen wird der gesamte Abbaupfad erfasst — von der anfänglichen elastischen Antwort über das fortschreitende Fließen bis zum Bruch — und die Krümmungen sowie Dehnungen bei jedem Lastniveau werden protokolliert.
Die Sekanten- und Tangentensteifigkeiten (, , ) liefern dem Ingenieur die tatsächlichen Steifigkeitswerte für die Verwendung in Tragwerksmodellen und ersetzen die herkömmliche Annahme eines konstanten . Die automatisch erkannten Steifigkeitsereignisse identifizieren die wesentlichen Übergänge auf den Stoffgesetzen mit den zugehörigen Kraftniveaus und Steifigkeitswerten.