Einleitung

Eine Analyse nach Theorie II. Ordnung erfasst die Momentenvergrößerung durch die Druckkraft auf die verformte Stütze. Die Anfangsausmitte erzeugt eine Auslenkung, die das Biegemoment erhöht, was die Auslenkung weiter vergrößert. Die Nennkrümmungsmethode des Eurocodes quantifiziert diesen Effekt über eine Ausmitte zweiter Ordnung , abgeleitet aus der Querschnittskrümmung und der effektiven Knicklänge , ohne ein vollständiges nichtlineares FEM-Modell zu erfordern:

SectionPro berechnet die Krümmung aus einer nichtlinearen Analyse pro Laststufe und bestimmt nach obiger Eurocode-Formel. Die Druckkraft wird gesteigert und ein Lastpfad im Interaktionsdiagramm verfolgt, bis entweder die Materialtragfähigkeit erreicht ist (Querschnittswiderstand) oder die Ausmitte divergiert (Knickinstabilität). Zwei Modi stehen zur Verfügung:

• 2D einachsig: Knicken wird in einer Biegeebene analysiert (– oder –). Die andere Momentenkomponente bleibt konstant; ein optionales Moment erster Ordnung kann aufgebracht werden.
• 3D zweiachsig: Beide Biegeebenen werden gleichzeitig verstärkt, jeweils mit eigener Knicklänge und . Der Lastpfad wird auf der vollständigen 3D-Interaktionsfläche verfolgt.

Berechnete Ergebnisse

SectionPro liefert für jede Knickanalyse:

Kreisförmiger Vollquerschnitt (schlank)

Eingabedaten

• Beton — Kreisförmiger Vollquerschnitt, Durchmesser m, Fläche m².
• Bewehrung — 20 Stäbe HA25 ( mm), positioniert bei mm, Betondeckung 40 mm, 1 Lage, cm².
• Stoffgesetze (EC2) — Beton C30/37: MPa, Stahl B500B: MPa.

2D einachsiges Knicken (N–Mz-Ebene)

Die Stütze hat eine effektive Knicklänge von m mit einer Anfangsausmitte m und ohne Moment erster Ordnung ().

Mit einem Schlankheitsgrad ist diese Stütze sehr schlank. Der Lastpfad verläuft nahezu linear bis etwa kN, wo die Effekte zweiter Ordnung noch gering sind. Darüber hinaus wächst die Ausmitte rasch und der Lastpfad krümmt sich stark nach oben. Die Stütze versagt durch geometrische Instabilität bei:

• kN
• Tragfähigkeitsminderung: 53%
• Bei 25% der maximalen Drucktragfähigkeit ( kN von kN): Gesamtmoment kN·m, davon kN·m zweiter Ordnung (46%)

Bei dieser schlanken Stütze sind die Effekte zweiter Ordnung bereits bei einem Bruchteil der Drucktragfähigkeit erheblich.

Kreisförmiger Hohlquerschnitt

Eingabedaten

• Beton — Kreisförmiger Hohlquerschnitt, Außendurchmesser m, Wandstärke m, Innendurchmesser m.
• Bewehrung — 30 Stäbe HA20 ( mm), positioniert bei mm (äußere Lage), Betondeckung 40 mm, 1 Lage, cm².
• Stoffgesetze (EC2) — Beton C30/37: MPa, Stahl B500B: MPa.

2D einachsiges Knicken (N–Mz-Ebene)

Die Stütze hat eine effektive Knicklänge von m mit einer Anfangsausmitte m und ohne Moment erster Ordnung ().

Mit einem Schlankheitsgrad ist diese Stütze gedrungen. Der Lastpfad verläuft über den größten Teil nahezu linear, doch die Ausmitte beschleunigt merklich ab kN. Anders als bei der schlanken Stütze, wo diese Beschleunigung früh einsetzt, tritt sie hier erst auf, wenn bereits nahe der maximalen Drucktragfähigkeit liegt. Die Stütze versagt kurz vor Erreichen der Interaktionskurve:

• kN
• Tragfähigkeitsminderung: 1,3%
• Bei 25% der maximalen Drucktragfähigkeit ( kN von kN): Gesamtmoment kN·m, davon kN·m zweiter Ordnung (17%)

Effekte zweiter Ordnung werden erst merklich, wenn sich der maximalen Drucktragfähigkeit nähert.

3D zweiachsiges Knicken

Im 3D-Modus verstärkt SectionPro die Biegemomente in beiden Ebenen gleichzeitig. Jede Richtung hat ihre eigene Knicklänge (, ) und Anfangsausmitte (, ), und die Ausmitten zweiter Ordnung und werden pro Laststufe unabhängig berechnet.

Der kreisförmige Hohlquerschnitt wird mit symmetrischen Knicklängen analysiert: m mit m. Es werden keine Momente erster Ordnung aufgebracht.

Mit einer kurzen Knicklänge von 10 m sind die Effekte zweiter Ordnung über den gesamten Lastpfad vernachlässigbar. Die Ausmitte bleibt über den größten Teil des Bereichs unter 1 mm und erreicht erst am allerletzten Punkt mm. Der Lastpfad verläuft im Wesentlichen linear und erreicht die Interaktionsfläche bei:

• kN
• Bei 25% der maximalen Drucktragfähigkeit ( kN von kN): Gesamtmoment kN·m pro Achse, davon kN·m zweiter Ordnung (0,5%)

Die Stütze erreicht ihre volle Materialtragfähigkeit praktisch ohne geometrische Tragfähigkeitsminderung, hauptsächlich dank der kürzeren Knicklängen und kleineren Anfangsausmitten im Vergleich zu den 2D-Beispielen.

Leistungsbenchmark

Die Analyse zweiter Ordnung besteht aus zwei Phasen: Aufbau der Interaktionskurve (bzw. -fläche), dann Verfolgung des Lastpfads durch schrittweise Berechnung von pro Laststufe. Jeder Schritt bestimmt die Querschnittskrümmung durch einen iterativen Algorithmus. Die Tabelle zeigt die Gesamtrechenzeit für 500 Lastpfadpunkte.

Der dominierende Aufwand ist der Aufbau der Interaktionsfläche. Die Lastpfadverfolgung selbst fügt nur wenige Millisekunden hinzu, sodass die Gesamtanalyse in allen Fällen unter 300 ms bleibt.

Export

SectionPro exportiert die Knickanalyse in drei Formaten: PDF, Text und Excel (.xlsx). Die exportierten Daten umfassen den vollständigen Lastpfad (, , , , pro Laststufe), den Tragfähigkeitsminderungsfaktor und den Knickstatus.

Fazit

Die Nennkrümmungsmethode ermöglicht es Ingenieuren, Effekte zweiter Ordnung auf Querschnittsebene zu bewerten, ohne den Aufwand und die Komplexität eines vollständigen nichtlinearen FEM-Modells. Die Lastpfaddarstellung auf der Interaktionskurve (bzw. -fläche) liefert eine unmittelbare Einschätzung, wie bedeutsam die Effekte zweiter Ordnung für eine gegebene Stütze sind.

Der Vergleich zwischen dem Vollquerschnitt Ø1 m und dem Hohlquerschnitt Ø2,5 m zeigt, dass die Querschnittsgeometrie und nicht allein die Knicklänge das Ergebnis bestimmt. Die schlanke Vollstütze weist einen stark gekrümmten Lastpfad auf und versagt durch Instabilität, während der Hohlquerschnitt seine Materialtragfähigkeit mit geringer Momentenvergrößerung zweiter Ordnung erreicht.

Der 3D zweiachsige Modus erweitert diese Analyse auf Stützen mit unterschiedlichen Knicklängen in jeder Richtung und verstärkt die Momente unabhängig in beiden Ebenen.