Einleitung

Die mechanischen Eigenschaften eines Querschnitts — Fläche, Trägheitsmomente, Schwerpunkt, Torsionskonstante, Schubflächen — sind der Ausgangspunkt jeder Tragwerksberechnung. Dieser Artikel zeigt, wie sie mit SectionPro für drei verschiedene Geometrien ermittelt werden:

1. Quadratischer Querschnitt — der einfachste Fall, alle Eigenschaften lassen sich analytisch berechnen.
2. Kreisringquerschnitt — Torsion und Trägheitsmomente bleiben analytisch, die Schubflächen erfordern jedoch eine numerische Berechnung.
3. L-förmige Wand — nur die geometrischen Eigenschaften sind analytisch. Torsion, Schub und Verwölbung sind rein numerisch. Dieser Querschnitt veranschaulicht den Fall einer asymmetrischen Geometrie ().

Berechnete Eigenschaften

SectionPro berechnet die folgenden Eigenschaften. Die ersten drei Gruppen werden für den Bruttoquerschnitt, Nettoquerschnitt (Abzug der Hohlräume an den Bewehrungspositionen) und Idealquerschnitt (Berücksichtigung der Bewehrung über die Verhältniszahl ) ermittelt:

Die Torsions- und Schubeigenschaften erfordern die Lösung einer Differentialgleichung mittels der Finite-Elemente-Methode.

Quadratischer Querschnitt

Eingabedaten

Beton — Seitenlänge m, Dichte t/m³. Bewehrung — HA25 im Abstand von 200 mm, Betondeckung 50 mm, 1 Lage — Verhältniszahl .

Eingabe und Ergebnisse

Aufgrund der doppelten Symmetrie liegt der Schwerpunkt im Mittelpunkt des Quadrats, der Hauptachsenwinkel ist null und beide Trägheitsmomente sind gleich.

Allgemeine Ergebnisse

Biegung — Schwerpunktachsen

Biegung — Hauptachsen

Torsion und Schub (FEM)

Aufgrund der doppelten Symmetrie fällt der Schubmittelpunkt mit dem Schwerpunkt zusammen ( m). Die Verwölbung ist nahezu null (). Das Verhältnis , typisch für einen Vollquerschnitt.

Kreisringquerschnitt

Eingabedaten

Beton — Außendurchmesser m, Wanddicke m, Dichte t/m³. Bewehrung — 24 HA20, Betondeckung 50 mm, 1 Lage — Verhältniszahl .

Eingabe und Ergebnisse

Aufgrund der Kreissymmetrie sind die Trägheitsmomente gleich und der Hauptachsenwinkel ist unbestimmt (angezeigt als 0°).

Allgemeine Ergebnisse

Biegung — Schwerpunktachsen

Biegung — Hauptachsen

Torsion und Schub (FEM)

Aufgrund der Rotationssymmetrie fällt der Schubmittelpunkt mit dem Schwerpunkt zusammen ( m) und die Verwölbung ist null (). Das Verhältnis : Der Hohlquerschnitt ist im Schub weniger effizient als ein Vollquerschnitt.

L-förmige Wand

Eingabedaten

Beton — L-Form — Breite 2.0 m, Höhe 2.0 m, Dicke m, Dichte t/m³. Bewehrung — HA20 im Abstand von 200 mm, Betondeckung 40 mm, 1 Lage — Verhältniszahl .

Eingabe und Ergebnisse

Da beide Schenkel gleich lang sind, gilt und der Hauptachsenwinkel beträgt exakt .

Allgemeine Ergebnisse

Biegung — Schwerpunktachsen

Biegung — Hauptachsen

Torsion und Schub (FEM)

Der Schubmittelpunkt ( m) ist zur einspringenden Ecke hin versetzt, weit entfernt vom Schwerpunkt ( m). Die Verwölbung ist signifikant ( m⁶). Die Torsionskonstante m⁴ ist sehr klein — typisch für ein offenes dünnwandiges Profil. Das Verhältnis .

Validierung der Ergebnisse

Die Ergebnisse von SectionPro werden auf zwei Arten validiert: durch Vergleich mit analytischen Formeln (sofern vorhanden) und durch Kreuzvalidierung mit einer Referenzsoftware, die einen unabhängigen Finite-Elemente-Löser verwendet.

Analytische Formeln

Quadratischer Querschnitt ( m)

Die Torsionskonstante ergibt sich aus der Saint-Venant-Reihe:

Kreisringquerschnitt ( m, m)

Für die Schubflächen gibt es keinen einfachen geschlossenen Ausdruck; die Differentialgleichung muss numerisch gelöst werden.

L-förmige Wand ( m, m)

Durch Zerlegung (Flansch + Steg ) und den Satz von Steiner:

Es gibt keine exakte analytische Formel für Torsion, Schub und Verwölbung. Die Wölbkrafttheorie nach Vlasov (offene dünnwandige Profile) liefert jedoch eine Größenordnung: m⁴ und der Schubmittelpunkt liegt näherungsweise am Schnittpunkt der Mittellinien der Schenkel ( m). Diese Schätzungen setzen eine unendlich kleine Dicke im Verhältnis zur Schenkellänge voraus; hier beträgt , und die Dickeneffekte verschieben die tatsächlichen Werte gegenüber diesem vereinfachten Modell.

Netto- und Idealquerschnitt

Für einen Querschnitt mit Bewehrungsstäben der Fläche an den Koordinaten , mit der Verhältniszahl :

Der Schwerpunkt verschiebt sich geringfügig:

Das Trägheitsmoment wird mit dem Satz von Steiner unter Berücksichtigung der Schwerpunktverschiebung ermittelt:

Validierung — Biegeeigenschaften

Die oben genannten analytischen Formeln wurden auf alle drei Querschnitte angewendet, unter Verwendung der von SectionPro exportierten exakten Bewehrungskoordinaten. Alle Ergebnisse stimmen überein.

Validierung — Torsion und Schub (Kreuzvalidierung)

Die Torsions- und Schubeigenschaften, berechnet mittels Finite-Elemente-Methode, werden mit einer Referenzsoftware verglichen, die einen unabhängigen Löser verwendet.

Zusammenfassung

Die Biegeeigenschaften (Fläche, Schwerpunkt, Trägheitsmomente) werden bei allen drei Geometrien mit perfekter Genauigkeit reproduziert, sowohl für den Brutto-, Netto- als auch Idealquerschnitt (0.00 % Abweichung von den analytischen Formeln).

Die Torsions- und Schubeigenschaften, berechnet mittels Finite-Elemente-Methode, hängen von der Netzverfeinerung ab. Die Kreuzvalidierung mit einer Referenzsoftware zeigt eine ausgezeichnete Übereinstimmung beider Löser. SectionPro weist dabei eine bessere Konvergenz auf, wie die exakte Übereinstimmung mit den analytischen Torsions- und Schublösungen belegt, sofern diese existieren.