Einleitung

Im vorherigen Artikel wurde die Interaktionsfläche berechnet, der räumliche Tragfähigkeitsbereich eines Stahlbetonquerschnitts im -Raum. Das NR-Lösungsverfahren (Article \#2) kann einzelne Lasten nachweisen, doch der Ingenieur muss die Ergebnisse einzeln prüfen oder sich auf den ungünstigsten Fall beschränken, ohne ein Gesamtbild aller Kombinationen zu erhalten.

Das Distanzmodul projiziert jeden Lastpunkt auf die Interaktionsfläche und stellt das Ergebnis als räumliches Streudiagramm dar. Für jede Last liefert es einen Status (innen, außen oder an der Grenze) und einen Ausnutzungsgrad . Der Ingenieur sieht alle Kombinationen auf einen Blick: welche Lasten sicher sind, welche die Tragfähigkeit überschreiten und um wie viel.

Ein weiterer Vorteil betrifft Normen mit äquivalentem Rechteck-Druckblock (ACI 318 Whitney-Block, CSA A23.3, AASHTO). Das NR-Lösungsverfahren muss das realistische Werkstoffgesetz (Parabel-Rechteck) verwenden, da ein Druckblock kein iteratives Verfahren antreiben kann. Die Interaktionsfläche hingegen wird direkt aus dem Whitney-Block aufgebaut, was den Distanzansatz diesen Normen näher bringt.

Der Kompromiss: Das Distanzmodul liefert weder Verformungszustand noch Spannungsverteilung. Es beantwortet "bestanden oder nicht, und um wie viel?", nicht "wie hoch ist die Spannung je Faser?".

Berechnete Ergebnisse

SectionPro liefert für jede Distanzanalyse drei Ergebniskategorien:

Dieser Ansatz vs. die Spannungs-Dehnungs-Analyse

Die folgende Tabelle vergleicht die beiden in SectionPro verfügbaren Nachweisverfahren.

Beide Ansätze ergänzen sich: (1) Distanzen zum Screening des Lastkollektivs und zur Identifikation der maßgebenden Kombinationen, dann (2) NR-Lösungsverfahren für diese kritischen Fälle zur vollständigen Querschnittsantwort.

Funktionsweise der Distanzberechnung

Gegeben Lastpunkt und Interaktionsfläche berechnet das Modul den Schwerpunkt des Flächennetzes (garantiert innerhalb des Tragfähigkeitsbereichs) und verfolgt einen Strahl von durch bis zum Schnittpunkt mit . Der Ausnutzungsgrad ist:

• : Der Lastpunkt liegt innerhalb der Fläche — der Querschnitt hat Tragreserve.
• : Der Lastpunkt liegt an der Grenze — der Querschnitt ist an seiner Grenze.
• : Der Lastpunkt liegt außerhalb der Fläche — die Tragfähigkeit ist überschritten.

Im Streudiagramm sind Lastpunkte farblich kodiert: grün für innere Lasten () und rot für äußere Lasten ().

Die Fläche wird einmal je Grenzzustand berechnet; jeder Lastpunkt erfordert danach nur eine Strahl-Schnittberechnung — vernachlässigbarer Aufwand gegenüber der iterativen NR-Konvergenz.

Achteckiger Querschnitt (Eurocode 2)

Eingangsdaten

Querschnittsgeometrie, Bewehrung und Werkstoffgesetze identisch mit Article \#4. 30 Lastkombinationen: 15 für ULS-F (Grundkombination) und 15 für SLS-C (charakteristisch) — reine Normalkraft, zweiachsige Biegung, kombinierte Lasten, Zug und Druck. Beton — Achteckiger Querschnitt — m, m — m, m. Bewehrung — 48 Stäbe, gleichmäßiger Abstand 150 mm — Durchmesser mm, Betondeckung 50 mm. Werkstoffgesetze (EC2) — Beton C30/37: MPa — Stahl B500B: MPa.

ULS-F (Grundkombination)

15 Lastkombinationen: 8 innen, 7 außen.

Last \#4 ( kN, reiner Druck) überschreitet die Fläche mit , was den Grenzwert kN aus Article \#4 bestätigt. Last \#2 ( kN) liegt tief im Tragfähigkeitsbereich (), wie für eine Last weit unterhalb von erwartet.

Die kombinierten Lasten zeigen die nicht-kubische Flächenform: Last \#8 (, ) liegt komponentenweise unter den Quader-Grenzwerten (, ), doch ihre Kombination schiebt den Punkt außerhalb ().

SLS-C (Charakteristisch)

15 Lastkombinationen: 6 innen, 9 außen.

Elliptischer Querschnitt (ACI 318)

Eingangsdaten

Querschnittsgeometrie, Bewehrung und Werkstoffgesetze sind identisch mit Article \#4. Es werden 30 Lastkombinationen definiert: 15 für ULS und 15 für SLS. Beton — Elliptischer Querschnitt — Breite m, Höhe m. Bewehrung — 40 Stäbe entlang des Umfangs — Durchmesser mm, Betondeckung 50 mm. Werkstoffgesetze (ACI 318) — Beton: MPa — Stahl: MPa.

ULS

15 Lastkombinationen: 8 innen, 7 außen.

Die ACI -Faktoren ( bis ) und die Begrenzung reduzieren die Nennkapazität, wodurch die ULS-Fläche kleiner wird. Der Begrenzungsquader aus Article \#4 gibt kN, kN·m, kN·m: das Überschreiten eines Grenzwerts garantiert Versagen, wie bei Lasten \#4 und \#8. Last \#7 (, kN·m) bleibt innerhalb aller drei Grenzwerte und fällt dennoch außerhalb der Fläche (); der Begrenzungsquader erkennt diesen Fall nicht, die 3D-Fläche schon.

SLS

15 Lastkombinationen: 7 innen, 8 außen.

Im SLS ist der Beton auf die zulässige Spannung ( MPa) begrenzt, was zu einer deutlich kleineren Fläche führt. Last \#23 ist die maßgebende Last beider Grenzzustände (): die kombinierte zweiachsige Biegung (, kN·m) überschreitet die SLS-Tragfähigkeit, obwohl jede Komponente einzeln innerhalb des Begrenzungsquaders läge.

Kreuzvalidierung mit dem Spannungs-Dehnungs-Lösungsverfahren

Das Distanzmodul projiziert Lastpunkte auf ein vorgefertigtes Flächennetz. Das NR-Lösungsverfahren (Newton-Raphson, Article \#2) iteriert für jede Last einzeln zum Gleichgewichts-Dehnungszustand. Beide Verfahren sollten übereinstimmen: Eine Last innerhalb der Fläche () muss alle Werkstoff-Dehnungsgrenzen einhalten, eine Last außerhalb () mindestens eine verletzen.

Vergleich bei 15 Lasten (achteckiger Querschnitt, ULS-F)

Für jede Last enthält die Tabelle das Distanzergebnis (, Status Intern/Extern) sowie die ungünstigste Betondehnung und Stahldehnung aus dem Spannungs-Dehnungs-Lösungsverfahren (beide in ‰, Absolutwerte) mit Werkstoff-Urteil.

Beide Verfahren stimmen vollständig überein. Jede Extern-Last wird durch Versagen mindestens eines Werkstoffs bestätigt, jede Intern-Last hält alle Dehnungsgrenzen ein. Der Ausnutzungsgrad ist ein zuverlässiger Indikator: Lasten tief in der Fläche weisen Dehnungen weit unter den Grenzen auf, Grenzlasten nähern sich ihnen an, und weit außen liegende Lasten überschreiten sie deutlich. Lasten 10–11: nur Betonversagen. Lasten 6–8 und 13: beide Grenzen gleichzeitig überschritten.

Benchmark mit 100.000 Lasten

Beide Verfahren werden auf 100.000 zufällige Kombinationen angewendet ( kN, kN·m, ULS-F). Die Fläche wird einmal erstellt (31 ms) und für alle Abfragen wiederverwendet.

Übereinstimmung: 99,97 % (99.974 von 100.000 Lasten identisch klassifiziert). Die 26 Abweichungen haben alle : Lastpunkte innerhalb von 0,2 % der Flächengrenze — nach jedem Maßstab an der Grenze.

Dies ist erwartetes Verhalten. Das Distanzmodul wendet keinen strengen Gleichheitstest an: Jede Last mit hinreichend nah an 1 wird als Grenzfall behandelt. In diesem schmalen Bereich können beide Verfahren legitim abweichen; das Distanzergebnis hängt von der Netz-Auflösung ab (endliche Dreiecksgröße = geometrische Näherung), während das NR-Verfahren auf exaktes Gleichgewicht iteriert. In solchen Fällen ist das NR-Verfahren der finale Schiedsrichter.

Aus ingenieurmäßiger Sicht sollte bei nicht allein auf die automatische Intern/Extern-Klassifizierung vertraut werden. Empfohlen: vollständige NR-Berechnung für ein genaues Ergebnis oder — besser — Anpassung von Geometrie bzw. Bewehrung, um einen klaren Sicherheitsabstand ( deutlich unter 1) zu erzielen.

Das Distanzmodul ist 15-mal schneller als das NR-Verfahren (Abfragephase). In der Praxis sind beide Verfahren für den Großteil der Ingenieuraufgaben praktisch sofort verfügbar. Der Geschwindigkeitsvorteil wird entscheidend für erweiterte Anwendungen (Optimierungsschleifen, Parameterstudien, automatisierte Normennachweise über große Lastkollektive), bei denen Millionen von Kombinationen wiederholt ausgewertet werden müssen.

Fazit

Das Distanzmodul bietet ein schnelles, zuverlässiges Verfahren zur Tauglichkeitsprüfung beliebig vieler Lastkombinationen gegenüber der Interaktionsfläche. Für jede Last liefert es und Intern/Extern-Status; der Ingenieur sieht alle Grenzzustände auf einen Blick.

Die Kreuzvalidierung bestätigt 99,97 % Übereinstimmung mit dem NR-Lösungsverfahren bei 100.000 Lasten. Die 26 Abweichungen liegen alle innerhalb von 0,2 % der Flächengrenze, wo die Netz-Diskretisierung die Klassifizierung unsicher macht; das NR-Verfahren bleibt der finale Schiedsrichter. Für Lasten klar innerhalb oder außerhalb der Fläche stimmen beide Verfahren vollständig überein.

Beide Verfahren sind für die Ingenieurpraxis sofort verfügbar. Der Distanzansatz ist besonders wertvoll bei Millionen von Kombinationen (Optimierungsschleifen, Parameterstudien, Normennachweise), da die Flächenwiederverwendung redundante Berechnungen eliminiert.

Das räumliche Streudiagramm zeigt für jeden Grenzzustand alle Lastkombinationen und den gesamten Tragfähigkeitsbereich in einer einzigen Abbildung, direkt in einen Berechnungsbericht integrierbar.

Export

SectionPro exportiert die Distanzergebnisse in drei Formaten. Der PDF-Bericht enthält räumliche Ansichten der Interaktionsfläche mit Lastpunkten als Streudiagramm, je Grenzzustand die maßgebende Last sowie eine nach absteigendem sortierte Ergebnistabelle. Excel- und Textexport liefern dieselben Daten für externe Nachverarbeitung.