Introduction

L'analyse au second ordre estime l'amplification des moments de flexion causée par l'effort de compression agissant sur la déformée du poteau. L'excentricité initiale provoque un déplacement latéral, qui augmente le moment fléchissant, lequel accroît le déplacement. La méthode de la courbure nominale de l'Eurocode quantifie cet effet par une excentricité du second ordre déduite de la courbure de la section et de la longueur de flambement , sans modèle MEF non linéaire :

SectionPro évalue la courbure par une analyse non linéaire à chaque niveau de charge, puis applique la formule ci-dessus pour obtenir . L'effort normal est incrémenté, traçant un chemin de chargement sur le diagramme d'interaction jusqu'à la résistance du matériau (rupture) ou la divergence de l'excentricité (instabilité par flambement). Deux modes sont disponibles :

• 2D uniaxial : le flambement est analysé dans un seul plan de flexion (– ou –). L'autre composante de moment est maintenue constante, et un moment du premier ordre peut être imposé.
• 3D biaxial : les deux plans de flexion sont amplifiés simultanément, chacun avec sa propre longueur de flambement et . Le chemin de chargement est tracé sur la surface d'interaction 3D complète.

Résultats calculés

SectionPro fournit pour chaque analyse au flambement :

Colonne circulaire pleine (élancée)

Données d'entrée

• Béton — Section circulaire pleine, diamètre m, aire m².
• Armatures — 20 barres HA25 ( mm), positionnées à mm, enrobage 40 mm, 1 nappe, cm².
• Lois matériaux (EC2) — Béton C30/37 : MPa, Acier B500B : MPa.

Flambement 2D uniaxial (plan N–Mz)

Le poteau a une longueur de flambement de m avec une excentricité initiale m et aucun moment du premier ordre ().

Avec un élancement , ce poteau est très élancé. Le chemin de chargement est quasi linéaire jusqu'à environ kN, où les effets du second ordre restent faibles. Au-delà, l'excentricité croît rapidement et le chemin de chargement s'incurve fortement. Le poteau rompt par instabilité géométrique à :

• kN
• Réduction de capacité : 53%
• À 25% de la résistance maximale en compression ( kN sur kN) : moment total kN·m, dont kN·m de second ordre (46%)

Pour ce poteau élancé, les effets du second ordre sont déjà importants à une fraction de la capacité axiale.

Colonne circulaire évidée

Données d'entrée

• Béton — Section circulaire évidée, diamètre extérieur m, épaisseur de paroi m, diamètre intérieur m.
• Armatures — 30 barres HA20 ( mm), positionnées à mm (nappe extérieure), enrobage 40 mm, 1 nappe, cm².
• Lois matériaux (EC2) — Béton C30/37 : MPa, Acier B500B : MPa.

Flambement 2D uniaxial (plan N–Mz)

Le poteau a une longueur de flambement de m avec une excentricité initiale m et aucun moment du premier ordre ().

Avec un élancement , ce poteau est trapu. Le chemin de chargement est quasi linéaire sur la majeure partie du domaine, mais l'excentricité s'accélère notablement au-delà de kN. Contrairement au poteau élancé où cette accélération intervient tôt, elle n'apparaît ici que lorsque est déjà proche de la résistance maximale en compression. Le poteau rompt juste avant d'atteindre la courbe d'interaction :

• kN
• Réduction de capacité : 1,3%
• À 25% de la résistance maximale en compression ( kN sur kN) : moment total kN·m, dont kN·m de second ordre (17%)

Les effets du second ordre ne deviennent notables que lorsque approche la résistance maximale en compression.

Flambement biaxial 3D

En mode 3D, SectionPro amplifie les moments de flexion dans les deux plans simultanément. Chaque direction possède sa propre longueur de flambement (, ) et excentricité initiale (, ), et les excentricités du second ordre et sont calculées indépendamment à chaque niveau de charge.

La colonne circulaire évidée est analysée avec des longueurs de flambement symétriques : m avec m. Aucun moment du premier ordre n'est appliqué.

Avec une longueur de flambement courte de 10 m, les effets du second ordre sont négligeables tout au long du chemin de chargement. L'excentricité reste inférieure à 1 mm sur la majeure partie du domaine et n'atteint que mm au tout dernier point. Le chemin de chargement est essentiellement linéaire et atteint la surface d'interaction à :

• kN
• À 25% de la résistance maximale en compression ( kN sur kN) : moment total kN·m par axe, dont kN·m de second ordre (0,5%)

Le poteau atteint sa pleine résistance matériau sans réduction de capacité notable due aux effets géométriques, principalement grâce aux longueurs de flambement réduites et aux excentricités initiales plus petites que dans les exemples 2D.

Benchmark de performance

L'analyse au second ordre comporte deux phases : la construction de la courbe (ou surface) d'interaction, puis le traçage du chemin de chargement en calculant incrémentalement à chaque niveau de charge. Chaque pas évalue la courbure de la section par un algorithme itératif. Le tableau ci-dessous indique le temps de calcul total pour 500 points du chemin de chargement.

Le coût dominant est la construction de la surface d'interaction. Le traçage du chemin de chargement n'ajoute que quelques millisecondes, maintenant le temps total d'analyse sous 300 ms dans tous les cas.

Export

SectionPro exporte l'analyse au flambement sous trois formats : PDF, texte et Excel (.xlsx). Les données exportées comprennent le chemin de chargement complet (, , , , à chaque niveau de charge), le facteur de réduction de capacité et le statut de flambement.

Conclusion

La méthode de la courbure nominale permet aux ingénieurs d'évaluer les effets du second ordre au niveau de la section, sans le coût ni la complexité d'un modèle MEF non linéaire complet. La visualisation du chemin de chargement sur la courbe (ou surface) d'interaction donne une évaluation immédiate de l'importance des effets du second ordre pour un poteau donné.

La comparaison entre la colonne pleine Ø1m et la colonne évidée Ø2,5m démontre que les propriétés géométriques, et pas seulement la longueur de flambement, gouvernent le résultat. La colonne élancée présente un chemin de chargement fortement incurvé et rompt par instabilité, tandis que la colonne évidée atteint sa résistance matériau avec une faible amplification du second ordre.

Le mode 3D biaxial étend cette analyse aux poteaux avec des longueurs de flambement différentes dans chaque direction, en amplifiant les moments indépendamment dans les deux plans.