Introduction

Dans l'article précédent, nous avons calculé la surface d'interaction, le domaine de résistance 3D d'une section en béton armé dans l'espace . Le solveur contraintes-déf. (Article \#2) peut vérifier des charges individuelles, mais l'ingénieur doit inspecter les résultats un par un, ou se limiter au cas le plus défavorable, sans vue d'ensemble de toutes les combinaisons.

Le module distances résout ce problème en projetant chaque point sur la surface d'interaction et affichant le résultat sous forme de nuage 3D. Pour chaque charge, il retourne un statut (interne, externe ou à la limite) et un facteur quantifiant la marge. L'ingénieur voit toutes les combinaisons d'un regard : quelles charges sont sûres, lesquelles dépassent la capacité, et de combien.

Un avantage concerne les codes à bloc rectangulaire (Whitney ACI 318, CSA A23.3, AASHTO). Le solveur contraintes-déf. doit recourir à la loi réaliste (parabole-rectangle), car un bloc ne pilote pas de solveur itératif. La surface d'interaction est construite directement depuis le bloc Whitney, rendant l'approche distances plus fidèle à la loi de dimensionnement de ces codes.

La contrepartie : le module distances ne retourne pas l'état de déformation ni la distribution des contraintes. Il répond à « passe ou échoue, et de combien ? » mais pas à « quelle est la contrainte en chaque fibre ? ».

Résultats calculés

SectionPro fournit trois catégories de résultats par distances :

Cette approche vs. l'analyse contraintes-déformations

Le tableau résume les principales différences entre les deux méthodes de vérification disponibles dans SectionPro.

Les deux approches sont complémentaires. Workflow typique : (1) distances pour cribler l'enveloppe et identifier les combinaisons critiques, puis (2) solveur contraintes-déf. sur ces cas pour obtenir la réponse complète.

Fonctionnement des distances

Pour un point et la surface , le module calcule le centroïde du maillage (garantit être à l'intérieur du domaine) et trace un rayon depuis vers jusqu'à intersection avec en . Le facteur de sécurité est :

• : le point est interne à la surface — la section dispose d'une réserve.
• : le point est à la limite — la section est exactement à sa limite.
• : le point est externe à la surface — la capacité est dépassée.

Sur le nuage de points 3D, les charges sont colorées selon leur statut : vert pour les charges internes () et rouge pour les charges externes ().

La surface est calculée une fois par état limite ; chaque charge ne requiert ensuite qu'une intersection rayon-surface, coût négligeable face à la convergence itérative du solveur contraintes-déformations.

Section octogonale (Eurocode 2)

Données d'entrée

La géométrie, le ferraillage et les lois matériaux sont identiques à ceux de l'Article \#4 (Surface d'Interaction). 30 combinaisons sont définies : 15 à l'ELU-F (Fondamental) et 15 à l'ELS-C (Caractéristique), couvrant effort normal pur, flexion biaxiale pure, chargement combiné, traction et compression.

• Béton — Section transversale octogonale, m, m, m, m.
• Armatures — 48 barres, espacement uniforme 150 mm, diamètre mm, enrobage 50 mm.
• Lois matériaux (EC2) — Béton C30/37 : MPa, Acier B500B : MPa.

ELU-F (Fondamental)

15 combinaisons de charges : 8 internes, 7 externes.

La charge \#4 ( kN, compression pure) dépasse légèrement la surface avec , confirmant que kN de l'Article \#4 est correct. La charge \#2 ( kN, compression pure) est loin à l'intérieur (), comme attendu pour une charge bien sous .

Les charges combinées révèlent la forme non cubique de la surface : la charge \#8 (, ) a des composantes inférieures aux limites de la boîte (, ) mais leur combinaison place le point à l'extérieur ().

ELS-C (Caractéristique)

15 combinaisons de charges : 6 internes, 9 externes.

Section elliptique (ACI 318)

Données d'entrée

La géométrie, le ferraillage et les lois matériaux sont identiques à ceux de l'Article \#4. 30 combinaisons sont définies : 15 à l'ELU et 15 à l'ELS.

• Béton — Section transversale elliptique, largeur m, hauteur m.
• Armatures — 40 barres le long du périmètre, diamètre mm, enrobage 50 mm.
• Lois matériaux (ACI 318) — Béton : MPa, Acier : MPa.

ELU

15 combinaisons de charges : 8 internes, 7 externes.

Les facteurs ACI ( à ) et le plafond réduisent la capacité nominale, rendant la surface ELU plus petite. D'après l'Article \#4, la boîte englobante donne kN, kN·m, kN·m : dépasser l'une de ces limites garantit l'échec, comme pour les charges \#4 et \#8. La charge \#7 (, kN·m), cependant, reste dans les trois limites mais sort quand même de la surface () ; la boîte englobante ne peut pas détecter ce cas, la surface 3D si.

ELS

15 combinaisons de charges : 7 internes, 8 externes.

À l'ELS, le béton est limité à la contrainte admissible ( MPa), donnant une surface bien plus petite qu'à l'ELU. La charge \#23 est la plus défavorable sur les deux états limites () : la flexion biaxiale (, kN·m) dépasse largement la capacité ELS, même si chaque composante prise seule resterait dans la boîte englobante.

Validation croisée avec le solveur contraintes-déformations

Le module distances projette les points de charge sur un maillage pré-construit de la surface d'interaction. Le solveur contraintes-déf. (Newton-Raphson, Article \#2) itère pour trouver l'état d'équilibre de chaque charge. Les deux méthodes doivent s'accorder : une charge interne () satisfait toutes les limites de déformation, une externe () en viole au moins une.

Comparaison sur 15 charges (section octogonale, ELU-F)

Pour chaque charge, le tableau donne le résultat distances ( et statut Interne/Externe), puis la sortie du solveur contraintes-déf. : déformation béton maximale et déformation acier (en ‰, valeurs absolues), et le verdict matériau.

Les deux méthodes sont pleinement cohérentes. Chaque charge Externe est confirmée en échec par au moins un matériau (béton, acier ou les deux), chaque charge Interne satisfait toutes les limites. Le facteur est un indicateur fiable de la marge : les charges loin à l'intérieur ont des déformations bien sous leurs limites, celles proches de la frontière les approchent, celles à l'extérieur les dépassent largement. Charges 10–11 : écrasement béton seul. Charges 6–8 et 13 : les deux limites dépassées.

Benchmark sur 100 000 charges

Pour quantifier l'accord, les deux méthodes sont appliquées à 100 000 combinaisons ( kN, kN·m, ELU-F). La surface est construite une fois (31 ms) et réutilisée pour toutes les requêtes.

Accord : 99,97 % (99 974 sur 100 000 classées identiquement). Les 26 désaccords ont tous : ces points se situent à moins de 0,2 % de la frontière et sont effectivement à la limite par tout critère.

Ce comportement est attendu. Le module distances ne teste pas l'égalité stricte : toute charge suffisamment proche de 1 est traitée comme un cas frontière. Dans cette étroite région, les deux méthodes peuvent légitimement diverger — le résultat des distances dépend de la résolution du maillage (la taille finie des triangles introduit une approximation géométrique), tandis que le solveur NR itère jusqu'à l'équilibre exact. Dans ces cas, le solveur NR est l'arbitre final : son verdict prime sur la classification par distances.

Dès que , l'ingénieur ne doit pas se fier uniquement à la classification automatique Interne/Externe. La réponse appropriée est soit d'effectuer un calcul NR complet, soit, mieux, de modifier la section pour obtenir une marge claire ( confortablement inférieur à 1).

Le module distances est 15 fois plus rapide que le solveur NR pour ce lot (phase de requête). En pratique, les deux méthodes sont instantanées pour l'ingénierie courante. L'avantage de vitesse devient significatif pour les applications avancées (boucles d'optimisation, études paramétriques, vérification automatisée sur grandes enveloppes) où des millions de combinaisons doivent être évaluées de façon répétée.

Conclusion

Le module distances offre une méthode rapide et fiable pour vérifier toutes les combinaisons de charges par rapport à la surface d'interaction d'une section en béton armé. Pour chaque charge, il retourne un facteur de sécurité normalisé et un statut Interne/Externe, donnant une image immédiate des combinaisons les plus critiques sur tous les états limites simultanément.

La validation croisée sur 100 000 charges confirme 99,97 % d'accord avec le solveur contraintes-déformations Newton-Raphson. Les 26 désaccords sont tous localisés à moins de 0,2 % de la frontière, où la discrétisation du maillage rend la classification incertaine ; dans ces cas, le solveur NR reste l'arbitre final. Pour les charges clairement à l'intérieur ou à l'extérieur de la surface, les deux méthodes sont pleinement cohérentes.

Les deux méthodes sont instantanées pour l'ingénierie courante. L'approche par distances devient précieuse pour les millions de combinaisons (optimisation, études paramétriques, vérification automatisée) grâce à la réutilisation de surface.

Au-delà des résultats numériques, l'avantage clé du module distances est le nuage de points 3D : pour chaque état limite, toutes les combinaisons et le domaine de résistance sont visibles en une seule figure. D'un regard, l'ingénieur voit quelles charges sont sûres, lesquelles dépassent la capacité, et de combien — un graphique autonome qui s'intègre directement dans une note de calcul.

Export

SectionPro exporte les résultats en trois formats. Le rapport PDF inclut les vues 3D avec le nuage de charges ; pour chaque état limite, la combinaison la plus critique est identifiée, suivie d'un tableau trié par décroissant. Les exports Excel et texte fournissent les mêmes données tabulaires.