Introduction

Les caractéristiques mécaniques d'une section — aire, moments d'inertie, centre de gravité, constante de torsion, aires de cisaillement — sont le point de départ de tout calcul de structure. Cet article montre comment les obtenir avec SectionPro, sur trois géométries différentes :

1. Section carrée — cas le plus simple, toutes les propriétés sont calculables analytiquement.
2. Section circulaire évidée — la torsion et l'inertie restent analytiques, mais les aires de cisaillement nécessitent un calcul numérique.
3. Mur en L — seules les propriétés géométriques sont analytiques. La torsion, le cisaillement et le gauchissement sont purement numériques. Cette section illustre le cas d'une géométrie asymétrique ().

Propriétés calculées

SectionPro calcule les propriétés suivantes. Les trois premiers groupes sont calculés en section brute, nette (déduction des vides aux emplacements des armatures) et homogénéisée (prise en compte des armatures via le coefficient d'équivalence ) :

Les caractéristiques de torsion et de cisaillement nécessitent la résolution d'une équation différentielle via la méthode des éléments finis.

Section carrée

Données

Béton — Côté m, densité t/m³. Aciers — HA25 espacement 200 mm, enrobage 50 mm, 1 nappe — coefficient d'équivalence .

Saisie et résultats

Par double symétrie, le centre de gravité est au centre du carré, l'angle principal est nul et les deux inerties sont égales.

Résultats généraux

Flexion — Repère central

Flexion — Repère principal

Torsion et cisaillement (FEM)

Par double symétrie, le centre de torsion coïncide avec le centre de gravité ( m). Le gauchissement est quasi nul (). Le rapport , typique d'une section pleine.

Section circulaire évidée

Données

Béton — Diamètre extérieur m, épaisseur paroi m, densité t/m³. Aciers — 24 HA20, enrobage 50 mm, 1 nappe — coefficient d'équivalence .

Saisie et résultats

Par symétrie circulaire, les inerties sont égales et l'angle principal est indéterminé (affiché 0°).

Résultats généraux

Flexion — Repère central

Flexion — Repère principal

Torsion et cisaillement (FEM)

Par symétrie de révolution, le centre de torsion coïncide avec le centre de gravité ( m) et le gauchissement est nul (). Le rapport : la section évidée est moins efficace en cisaillement qu'une section pleine.

Mur en L

Données

Béton — Type L — largeur 2,0 m, hauteur 2,0 m, épaisseur m, densité t/m³. Aciers — HA20 espacement 200 mm, enrobage 40 mm, 1 nappe — coefficient d'équivalence .

Saisie et résultats

Les ailes étant de même longueur, et l'angle principal est exactement .

Résultats généraux

Flexion — Repère central

Flexion — Repère principal

Torsion et cisaillement (FEM)

Le centre de torsion ( m) est décalé vers le coin rentrant, loin du centre de gravité ( m). Le gauchissement est significatif ( m⁶). La constante de torsion m⁴ est très faible — typique d'un profil ouvert en paroi mince. Le rapport .

Validation des résultats

Les résultats de SectionPro sont validés de deux manières : par comparaison avec les formules analytiques (lorsqu'elles existent) et par comparaison croisée avec un logiciel de référence utilisant un solveur éléments finis indépendant.

Rappel des formules analytiques

Section carrée ( m)

La constante de torsion est obtenue par les séries de Saint-Venant :

Section circulaire évidée ( m, m)

Les aires de cisaillement n'admettent pas de formule simple ; l'équation différentielle doit être résolue numériquement.

Mur en L ( m, m)

Par décomposition (semelle + âme ) et théorème de Huygens :

Il n'existe pas de formule analytique exacte pour la torsion, le cisaillement et le gauchissement. La théorie de Vlasov (profils ouverts en paroi mince) fournit toutefois un ordre de grandeur : m⁴ et le centre de torsion se situe approximativement à l'intersection des lignes moyennes des ailes ( m). Ces estimations supposent une épaisseur infiniment petite devant la longueur des ailes ; ici , et les effets d'épaisseur décalent les valeurs réelles par rapport à ce modèle simplifié.

Sections nette et homogénéisée

Pour une section armée de barres d'acier de section aux coordonnées , avec un coefficient d'équivalence :

Le centre de gravité se déplace légèrement :

L'inertie se déduit par le théorème de Huygens, en tenant compte du décalage :

Validation — Propriétés de flexion

Les formules analytiques ci-dessus ont été appliquées aux trois sections en utilisant les coordonnées exactes des armatures exportées par SectionPro. Tous les résultats coïncident.

Validation — Torsion et cisaillement (comparaison croisée)

Les propriétés de torsion et cisaillement, calculées par éléments finis, sont comparées à un logiciel de référence utilisant un solveur indépendant.

Conclusion

Les propriétés de flexion (aire, centre de gravité, moments d'inertie) sont reproduites avec une précision parfaite sur les trois géométries, en section brute, nette et homogénéisée (écart 0,00 % par rapport aux formules analytiques).

Les propriétés de torsion et de cisaillement, calculées par éléments finis, dépendent de la finesse du maillage. La comparaison croisée avec un logiciel de référence montre une très bonne concordance entre les deux solveurs. SectionPro affiche toutefois une meilleure convergence, comme en témoigne sa correspondance exacte avec les solutions analytiques de torsion et de cisaillement lorsqu'elles existent.